Линейная зависимость векторов

Проекция вектора на ось

Углом между векторами и называется наименьший из двух углов j (0£ j £ p), на который надо повернуть один вектор, чтобы его направление совпало со вторым после приведения этих векторов к общему началу:

.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой задано единичным вектором (ортом оси).

Проекцией точки А на ось l называется точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно оси l - точка А₁.

Рассмотрим произвольный вектор . Пусть точка А₁ – проекция начала вектора на ось, В₁ - проекция конца вектора.

Проекцией вектора на ось l называется положительное число, равное модулю вектора проекции , если угол j между вектором и

осью острый, и отрицательное число - , если угол между вектором и осью - тупой.

Обозначается проекция вектора и вычисляется по формуле: .

Выражение называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами с₁, с₂,..., с_n.

Система векторов называются линейно зависимой, если их линейная комбинация обращается в ноль при с₁, с₂,..., с_n, не равных нулю одновременно; и линейно независимой, если только тогда, когда все коэффициенты с₁=с₂=...=с_n=0.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. Любая система из трех векторов на плоскости линейно зависима.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Любая система из четырех векторов в пространстве линейно зависима.

Дата добавления: 2017-01-13