Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений

Однородные системы

Пусть дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными.

Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Х =0.

Теорема о решении однородной системы. Для того чтобы однородная система с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A)< n.

При m = n условие r(A)< n означает, что определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

Пример. Решить систему линейных однородных уравнений.

n=4 – число неизвестных.

1) Вычислим r(A) методом окаймляющих миноров.

Следовательно, r(A)=2.

2) выберем в качестве базисного, тогда система уравнений запишется в виде:

5 x₃+ 3 x₄=- 2 x₁+ 4 x₂

4 x₃+ 2 x₄=- 3 x₁+ 6 x₂

x₁,x₂ -свободные неизвестные, x_3,4 -связнные.

Выразим x₃,x₄ через x_1, x₂

х₃ =-2,5 x₁+ 5 x₂

х₄=- 3,5 x₁- 7 x_2.

3) Обозначим: x₁=С₁, x₂=С₂, тогда общее решение системы:

Частные решения:

(c₁= 0 ,c₂= 1 ) = (c₁= 1 ,c₂= 0 ) =

Замечание. Если однородная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет бесконечное множество решений.

Общее решение системы есть формула, которая отражает решения системы как функцию свободных неизвестных.

Методом Гаусса решаются неоднородные системы уравнений AX=B.

Суть метода Гаусса:

1) систему уравнений приводят к треугольному виду;

2) определяют свободные и связанные неизвестные;

3) составляют крамеровскую систему и решают по правилу Крамера;

4) записывают общее решение системы.

Замечание. В методе Гаусса ранг матрицы определяется автоматически.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу преобразованной системы и найдем ее ранг.

, тогда

, x₄ - свободная неизвестная; x₁, x₂, x₃ – базисные неизвестные. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Пусть x₄=С, тогда 7 x₂= 4+2 С, х₂= 4/7+2 С /7, х₁= 4 С /7-6/7.

Ответ: общее решение системы Х = .

Методом Гаусса решаются так же крамеровские системы, т.е. системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и det A ¹0. В этом случае мы сразу получаем единственное решение системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений

.

Решение: 1) умножим первое уравнение на (-2) и прибавим его ко второму уравнению;

2) умножим первое уравнение на (-5) и прибавим его к третьему уравнению; получим систему:

.

3) Умножим второе уравнение системы на 3 и прибавим его к третьему уравнению:

.

4) Найдем последовательно x₃, x₂, x₁.

Ответ: .

Дата добавления: 2017-01-13