Методы вычисления ранга матрицы

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы

Пусть А - произвольная матрица.

Возьмем k столбцов и k строк матрицы А, где k£ min (m,n).

Определение. Минором М матрицы А называется определитель k -го порядка, полученный на пересечении k строк и k столбцов матрицы А.

Пример. Дана матрица А.

Максимальный порядок миноров данной матрицы равен четырем.

Рангом матрицы называется наивысший из порядков не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A или r(A ).

Пример. Дана матрица А.

det A =0, все миноры второго порядка равны 0.

Минор 1-го порядка М = =3¹0, следовательно, r(A)=1.

а) Метод окаймляющих миноров.

Суть метода:

1) берут не равный нулю минор небольшого, обычно 2-го порядка и рассматривают все миноры 3-го порядка, которые содержат (окаймляют) данный. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 2;

2) если хотя бы один из миноров 3-го порядка не равен нулю, то берут те миноры 4-го – порядка, которые содержат данный ненулевой и вычисляют их. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 3;

3) если хотя бы один из миноров 4-го порядка не равен нулю, то продолжают процесс.

б) Метод элементарных преобразований.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Суть метода: элементарными преобразованиями обнуляют как можно большее число элементов матрицы, тогда вычисление ранга не вызывает затруднений.

Пример.

1) Умножим первую строку матрицы на (-11) и прибавим ко второй; умножим первую строку на (-4) и прибавим к третьей; умножим первую строку на (-3) и прибавим к четвертой.

2) Поменяем местами вторую и четвертую строки матрицы.

3) Умножим вторую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей; умножим вторую строку на (-37) и прибавим к четвертой.

4) Разделим третью строку на 13; разделим четвертую строку на 8.

5) Умножим третью строку матрицы на (-27) и прибавим к четвертой, получим треугольную матрицу, определитель которой не равен нулю.

Rang(А)=4.

Дата добавления: 2017-01-13