КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Крамеровские системы
Классификация систем Определение системы Системы линейных уравнений Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.
В матричной форме записи: AX=B, где А -матрица коэффициентов, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов. Решением системы линейных уравнений называется всякий столбец
,
удовлетворяющий матричному уравнению АХ=В.
1) АХ=О (В =О) - однородная система. 2) АХ=В (В ¹О) - неоднородная система.
Неоднородная система линейных уравнений называется крамеровской, если выполнены следующие условия: 1) m = n, т.е. число уравнений равно числу неизвестных; 2) det А ¹0 – определитель матрицы коэффициентов не равен нулю. Иначе: система линейных уравнений крамеровская, если А – квадратная невырожденная матрица. Т.к. А – квадратная матрица, то существует обратная матрица А -1, тогда решение системы дается формулой: Х=А -1 В. Правило Крамера в матричной форме записи:
Здесь Dравен определителю матрицы коэффициентов, D I есть определитель матрицы коэффициентов, в котором на месте i -го столбца стоит столбец свободных членов. Пример. Решить систему уравнений: 1) Вычисляем det А = D и определители D i: x1 = ; x2 = ; x3 = .
Ответ: решение системы
1.6.4.Произвольные неоднородные системы Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.
Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. Главную роль в определении совместности системы играет ранг матрицы. Составим матрицу (А / В), которая называется расширенной матрицей.
Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна (т.е. имела решение), необходимо и достаточно, чтобы rang A =rang (A / B). Теорема о числе решений неоднородной системы: пусть для системы из m уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, т.е. r(A)= r(A / B)= r. Тогда: если r = n, то система имеет единственное решение. Если r < n, то система имеет бесконечное множество решений.
При этом (n - r) - неизвестным придают произвольное значение, они называются свободными неизвестными; r - число базисных неизвестных. Пример. Решить систему линейных уравнений. Составим расширенную матрицу: (A / B)= Определим ранги r(A) и r(A / B). r(A) =r(A / B)=3<4, следовательно, система имеет бесконечное множество решений; n-r =4-3=1 - одна свободная неизвестная. r = 3 - три базисных неизвестных. Т.к. r = 3, то выберем ненулевой минор третьего порядка, который назовем базисным минором. Т.к. в базисный минор входили коэффициенты при х1, х2, х3, то эти неизвестные будут базисными, оставшаяся х4 - свободной. Перепишем систему в виде: х1- 2 х2- 3 х3 = 2+5 х4 2 х1+х2+ 4 х3= 3 -х4 3 х1- 3 х2+ 8 х3 =-1+2 х4 Полученная система является крамеровской, т.к. определитель матрицы коэффициентов есть ненулевой минор третьего порядка. По правилу Крамера выразим х1, х2, х3 через х4. х1= 30 + 71 х4 х2= -7-15 х4 х3= -14-32 х4 Обозначим х4=С (произвольная константа), тогда общее решение системы имеет вид:
Придавая С различные значения, мы получим бесконечное множество частных решений системы. Например, .
Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 274; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |