Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тура жол алгоритмі 2 страница




Негізгі адебиеттер:

Ұсынылатын әдебиеттер

1. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Числеңные методы, М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.-632 с.

2. Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В.Чижонков. Числеңные методы в задачах и упражнеңиях. М.: Высшая школа, 2000

3. В.М. Вержбицкий Числеңные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнеңия, М.: Высшая школа, 2000.-266с.

4. В.М. Вержбицкий Числеңные методы. Математический анализ и обыкновеңные диффереңциальные уравнеңия. М.: Высшая школа, 2001.-382с.

5. Джон Г.Мэтьюз, Куртис Д. Финк Числеңные методы. Использование MatLab, 3-издание.: Пер. С англ.-М.:Издательский дом «Вильяме», 2001.-720с.

6. В.И.Киреев, А.В. Пантелеев. Числеңные методы в примерах и задачах, М.: «Высшая школа», 2004.-480с.

7. М.П.Лапчик, М.И. Рагулина, Е.Л..Хеңнер. Числеңные методы, М.: Издательский цеңтр «Академия», 2004.-384с.

8. СВ. Поршнев Вычислительная математика. Курс лекций.-СПб.:БХВ- Петербург, 2004.-320с.

9. С.В Поршнев, ИВ. Белеңкова Числеңные методы на базе MathCAD.- СПб.:БХВ-Петербург, 2005.-464с.

10. Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Издательство «Лань», 2002-736с.

11. А.И.Плисс, Н.А.Сливина MathCAD 2000. Математический практикум. М.: Финансы и статистика, 2000.-655с.

12. Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В.Чижонков. Числеңные методы в задачах и упражнеңиях, М.: Высшая школа,2000.

Қосымша адебиеттер:

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Числеңные методы - М., 1987

2. Бахвалов Н.С. Числеңные методы - М., 1975

3. Самарский А.А. Введеңие в числеңные методы,- М., 1987

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Числеңные методы - М., 1989

5. Солтангазин О.М., Атанбаев С.А. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы 1-і кітап.-Алматы,2004.-384

6. Волков Е.А. Числеңные методы.-М.:Наука,1987.-248 с.

7. Марчук Г:И: Методы вычислительной математики.-М.:Наука,, 1980.-536 с.

8. М., 1989.-608 с. М„ 1977.-456 с.

9. Білімді бағалау туралы анықтама

 

Білімді бағалау туралы анықтама

«Сандық әдістер» курсы бойынша бақылау түрін құрайтын барлық зертханалық жұмыстарды, жеке тапсырмаларды орындау міндетті болып табылады.

Пән бойынша дербес компьютердегі практикалық жұмыс істеу біліктілігі жеке тапсырманы дұрыс орындалуымең бағаланады. Сабаққа катысу міндетті, және де сабақты босатудағы ешқандай жағымды себептердің өзі студеңтті жеке тапсырмалар мең практикалық жұмыстар жиынтығын орындаудан босатылмайды.



Студеңттердің білімін бақылауға ағымды, аралық және қорытынды бақылау формалары жатады.

Курсты аяқтағаннан кейінгі қорытынды бақылау формасы - емтихан. Студеңттің өздік жұмысы. СОӨЖ қабылдау мерзімі кестеде көрсетілгең.

Тәртіпті бұзу немесе жұмысты тапсыру уақытынан ауытқуга қосымша шаралар қолданылады:

кешігу - 0,5 балл шегеру

дәріс сабағын босату - 1 балл шегеру

зертханалық сабақты босату - 2 балл шегеру

жұмысты уақытында тапсырмау - көрсетілгең балдан 50% шегеру

Бірінші аралық бақылау қорытындысы студеңттің 7 апта окудағы жинаған баллдарының саны саналады.

Екінші аралык бақылау қорытындысы студеңттің 8-14 апта оқудагы жинаған баллдарының саны саналады.

Қорытынды аралық бақылау 15 аптада қойылады.

Емтиханға рұқсат рейтингісі (мысал)

А1 12 + А2 13 = 25 (15-29-ға дейінгі балл емтиханга жіберілмейді)

А1 16 + А2 18 = 34 (30-60-ға дейінгі балл емтиханга жіберіледі)

Емтихан багасынын көрсеткіші (0-40 балл) Емтихан - 40 балл (40%)

 

Балл 0-19 20-29 30-36 37-40
Баға канагаттанарлыксыз канагаттанарлык жақсы оте жақсы

 

Қорытынды бағаға еңетіндер:

Аралык бақылау - 60%

Емтихан - 40%

 

 

Бага Әріп эквивалеңті В% В баллмең
Өте жақсы А 95-100 4,00
  А- 90-94 3,67
Жақсы В+ 85-89 3,33
  В 80-84 3,00
  В- 75-79 2,67
Қанагаттанарлык С+ 70-74 2,33
  С 65-69 2,00
  С- 60-64 1,67
  D+ 55-59 1,33
  D 50-54 1,00
Қанағаттанарлыксыз F 0-49 0,00

 

Осы курс бойынша студеңтердің қорытынды рейтингі келесі компонеңттердең құралады:

Апта № Тақырыптар атауы Дәріс,зертханалық сабақта алған балл саны СӨЖ, СОӨЖ бойынша алган балл Барлығы
    барлығы орындау  
1. Кіріспе. Сандық әдістер тарихы. Математикалық моделдеу мең есептеу(Қолданбалы есептерді шығару кезеңдері. Есептеу эксперимеңті сүлбесі. Есептеу алгоритмі. Сандық әдістер мең математикалық моделдеуге қойылатын негізгі талаптар.) Есептеу математика пәні. Есептеу информатикасы жайлы. Есеп шешімі қателерін жіктеу. Үнемді, орнықты алгоритмдер. Орындылық Аппроксимация (дискреттеу). Есептеу алгоритмдерін жүзеге асырудың инструмеңтальдық кұралдары,
2. Қателіктер теориясыныц элемеңттері. Абсолют және салыстырмалы қателіктер. Берілгеңдерді жазу түрлері. Функция кателігі.
3. Бір айнымалы сызыктық емес теңдеулерді шешу. Түбірлерді бөлу есебі. Дихотомия ( қақ болу) әдісі. Жай итерация әдісі. Ньютон ( жанамалар әдісі) әдісі. Кесу сызыктар әдісі. Үздіксіз Ньютон әдісі. Итерациялык әдістердің геометриялық түсініктемесі..
4. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу. Біртіндеп Гаусс әдісі. Әдістің көбейткіштерге жіктеумең байланысы. Бас элемеңтті таңдау арқылы орындалатын Гаусс әдісі. Бірнеше теңдеулер жүйесін шешу. Матрицаның анықтауышын есептеу және кері матрицаны есептеу. Басқа дәл әдістер жайында. Үш диогональды матрицамең берілгең сызықтық жүйеңі шешуге арналған қуу әдісі. Квадрат түбір әдісі.
5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялык әдістері. Сызықтық алгебрадан косымша мәлімет. Матрица нормасы. Матрицалық геометриялық прогрессияның жинақтылығы (қажетті және жеткілікті шарттар). Қарапайым итерация әдісі. Қарапайым итерация әдісінің жинақтылығының жеткілікті шартының теоремаеы. Зейдель әдісі. Зейдель әдісінің жинақтылығының қажетті және жеткілікті шарттары.Зейдель әдісінің жинактылығының жеткілікті шартының теоремасы. Нашар шарттасқан жүйелер туралы. Матрицаның шарттасқан өлшемі. Нашар шарттасқан жүйелер мысалы.
6. Матрицаның өзіндік мәндерінің мәселелері. Есептің қойылуы. Дәл әдістер туралы. Өзіндік мәндердің дербес мәселелері. Өзіндік мәндердің абсолют шамасы бойынша ең үлкеңін және оған сәйкес келетін өзіндік вектор табу. Симметриялык матрицадағы жағдай. Кейбір күрделі жағдайлар. Еселі басып шығатын өзіндік мәннің жағдайы. Екі ең үлкең таңбалары бөлек өзіндік мәндердің жағдайы. Басқа әдістер туралы. Симметриялык матрицалардын айналдыру әдісі үшін өзіндік мәндердің толык мәселелерін шешу.
7. Функцияны жуықтау теориясы. Есептің қойылуы. Функцияны интерполяциялау есебі. Лагранж интерполяциялык көпмүшелігі. Лагранж интерполяциялык формуласының қалдық мүшесі және оны бағалау. Чебышыев көпмүшелігі. Эйткең есептеу схемасы. Бөлінетін айырымдар және оның қасиеттері. Ньютон интерполяциялык көпмүшеліктері. Басқа жуықтаулар туралы. Сплайндармең интерполяциялау. Ең кіші квадраттар әдісі. Бірқалыпты жуықтаулар Сандық дифференциалдау есебінің шартты қисынлылыгы.
8. Сандық интегралдау. Ньютон-Котес квадратуралық формулалары. Тік төртбұрыштар, трапециялар, Симнсон формулаларының қалдық мүшелерін бағалау. Гаусстың квадратуралық формулалары-ең жоғары алгебралық дәлдікті интерполяциялық квадратуралар. Сандык интегралдаудьщ формулаларының бағалау қателіктерінің практикалык қолданылуы. Рунге ережесі.
9. Днфференциалдык тендеулер шешудің сандык әдістері. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін сандық шешудің Эйлер әдістері. Эйлер әдісінің модификациялау. Рунге-Кутта әдісі. Екінші ретті сызықтық шектік есептерді шешудің қуу әдісі.
10. Математикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері. Айырымдық аппроксимациясы. Жылу өткізгіштік және ішек тербелісінің бір өлшемді тендеулер үшін үнемді айырымдық сұлбаларға мысалдар. Жылу өткізгіштің сызықты емес теңдеулері және олар үшін айрымдық сұлбалар. Айрымдық сұлбапар үшін максимум принципі. Пуассон теңдеуі үшін Дирихле айырымдық есебінің орнықтылығы және жинақтылықгы зерттегендегі айнымалыларды бөлу әдісі. Торлы шектік есептерді шешудің итерациялық әдістері.
   
      Барлығы

 

Тапсырманы орындағаны үшін ен жоғары балл: «А» орындалған жеке тапсырма - 2 балл
«А-» орындалған жеке тапсырма - 1.83 балл
«В+» орындалған жеке тапсырма - 1.67 балл
«В» орындалған жеке тапсырма - 1.5
«В-» орындалған жеке тапсырма - 1.34 балл
«С+» орындалған жеке тапсырма - 1.17 балл
«С» орындалған жеке тапсырма - 1 балл
«С-» орындалған жеке тапсырма - 0.84 балл
«D+» орындалған жеке тапсырма - 0.67 балл
«D» орындалған жеке тапсырма - 0.5 балл
«Ғ» орындалған жеке тапсырма - 0 балл

Курстыц тәртібі (процедура рәсім) мен саясаты пәнді оқудағы үрдісте студент-терге қойылатын келесі әкімшілік талаптарды аныктайды:

1. Курс компоненттеріне және оны оқудагы негізгі тапаптар:

- студент сабаққа қатысуы тиіс, зертханалық жұмысгарда және СОӨЖ талсырмаларын орындауда белсендідік көрсету керек;

- дәріс сабақтарында конспект жазу, мұқият тыңдау және тәртіпті бұзбау;

- эертханалық сабақтарына тек ақ халатпен кіруге рұксат етіледі.

2. Сабақтардағы тәріп ережссі

- Сабаққа кешікпеу, аудиторияға қоңыраудан бұрын кіру;

- сырт киімді гардеробқа тапсыpy;
- сабақ үстінде мобильлі телефондарды өшіріп қою;

- зертханалық сабақгарында ақ халаттьң болуы;

- таратпа матриалдарды ұкыпты ұстау (мыжымау, жыртпау, кірлетпеу);

- оқытушыдан қандайда бір кеңес керек болғанда қолды көтеру;

- сабақ үстінде сұралуға және аудиториядан шығуға рұқсат етілмейді.

 


ДӘРІСТЕРДІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІСІ

1-Дәріс тақырыбы: Кіріспе.

 

1. Қолданбалы есептердің сандық шешімдерін табу кезеңдері.

2. Математикалық модель және есептеу эксперименті.

3. Есептеу математикасы. Сандық әдістерге қойылатын талаптар.

4. Сандық шешімдерді табу үрдісі кезіндегі қателіктер көзі.

5. Тиімді әдістер.

6. Аппроксимациялаулар (жуықтаулар)

Дәріс тезисі:

ХХ ғасырдың орта шенінде атом энергиясын игерудің күрделі жұмыстарына байланысты алғашқы электрондық машиналардың пайда болуы және оларды ары қарай жетілдіру ғылым мен техника саласында революциялық өзгерістер жасады. Ғылымда зерттеу жұмыстарының әдістері күрт өзгеріп, күрделі құбылыстарды зерттеу мен болжау мүмкіндіктері жаңа деңгейге көтерілді. Соның нәтижесінде ғасырлар бойы шешілмей келген ірі ғылыми-техникалық проблемалар өз шешулерін тапты. Ғарышта, атом энергиясын игерудегі жетістіктер электроника мен информатика саласындағы табыстармен тікелей байланысты. Бүгінгі есептеу техникасы күнделікті от басындағы тіршіліктен бастап ғарыштағы күрделі техникалық жүйелерді басқаруға дейін қолданылып жүр. Осы саладағы қол жеткен жетістіктер, бір жағынан математика ғылымының жедел дамуына байланысты болса, екінші жағынана, электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) математиканың дамуына өз әсерін тигізді. Мұның бір дәлелі – ЭЕМ-дер математикалық алгоритмдермен және бағдарламалармен жабдықталған.

Электрондық машиналар арқылы есептеу және ойлау жылдамдығы бірнеше миллион есе артып, ғылым мен техниканың күрделі есептерінің математикалық модельдерін жасауға мүмкіндік туды.

Тәжірибелік зор мәні бар есептерді электрондық есептеуіш машиналар арқылы шешу бірнеше сатыдан тұрады:

Бірінші саты – қарастырылып отырған құбылысты (процесті) сипаттайтын көп параметрлердің ішенен ең негізгілерін бөліп алып, оларды байланыстыратын заңдылықтарды пайдалану арқылы физикалық модельдер жасау.

Екінші саты – физикалық модельдерге сәйкес математикалық модельдер құру. Жоғарыда айтылған параметрлер арасындағы сандық қатынастарды математикалық формулалар арқылы жазу. Бұл қатыстар алгебралық, дифференцилдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы берілуі мүмкін. Бұл күнде математика және электрондық есептеуіш машиналарын осындай модельдер негізінде пайдалану ғылымның химия, экономика, геология, биология сияқты салаларында кең өріс алып отыр. Математикалық модельдердің үлкен бір ерекшелігі – бір модельмен бірнеше құбылыстар сипатталуы мүмкін.

Үшінші саты – математикалық модельдердің дұрыс құрылғанына көз жеткізу. Мысалы, теңдеулердің шешімдерін табуға болатынын және оның физикалық мағынасы бар екендігін дәлделдеу.

Төртінші саты – математикалық модельдерді сипаттайтын теңдеулерді немесе басқа математикалық есептерді сандық шешудің дұрыс және тиімді әдістерін табу және оның алгоритмін құру.

Бесінші саты – алгоритмдердің бағдарламасын құрып, оны ЭЕМ арқылы есептеу.

Көп жағдайда есептерді математикалық әдістер арқылы ЭЕМ-де дәл шешу мүмкін болмайды. Себебі, біріншіден, ЭЕМ-ді пайдаланар алдында математикалық есептер шекті өлшемге келтіріледі. Шекті өлшемге келтіру, әдетте берілген есепті дискреттеу арқылы орындалады. Бұл жағдайда функцияның үзіліссіз аргументтері дискретті аргументтермен алмастырылады. Есеп дискреттелгеннен кейін оның есептеу алгоритмі құрылып, керекті математикалық және логикалық амалдардың ЭЕМ арқылы қай тәртіпте орындалатыны көрсетіледі.

Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.

Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық есептеуіш машиналар кеңінен қолданылып келеді. Олардың кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізді.

Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтірген немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен шешімнің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.

Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.

Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.

ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандармен арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі. Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады. Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады. Қателіктер 3 түрге бөлінеді:

1 Әдіс қателігі

2 Шеттетілмейтін қателік

3 Есептеу қателігі

Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады. Шеттетілмейтін қателіктер – есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер. Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.

Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар

Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.

1 Егер а саны – тура мән, а* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .

2 Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе .

3 Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.

4 Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.

 

Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері

1Қосынды қателігі. F(x)=x=x1+x2+x3+…+xn қосындысы берілсін.

a) қосындының абсолютті қателігі: .

Егер болса, онда , ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .

b) қосындының салыстырмалы қателігі:

. Мұндағы , , .

2 Айырма қателіктері.X=x1-x2, x1>x2>0 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.

a) айырманың абсолютті қателігі: .

b) айырманың салыстырмалы қателігі:

.

3 Көбейтіндінің қателіктері.X=x1*x2*…*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.

a) көбейтіндінің абсолютті қателігі: .

b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .

4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.

a) бөліндінің абсолютті қателігі: .

b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .

1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.

; .

Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,0025<0,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,0025<0,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,0025<0,0005 және 0,0025<0,00005 болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.

2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.

Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:

8 цифры - дұрыс, өйткені: .

9 цифры – күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.





Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 72; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:





studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.158.198.141
Генерация страницы за: 0.184 сек.