КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , (1) где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .
Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .
Определение. Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.
Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R2 имеет вид Положив , , , , получим представление в виде (1), так как и в фиксированной точке будут постоянными, а , .
Условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде: , (2) где — расстояние между точками и : . При этом .
Очевидно, что если и , то и , и наоборот, если , то и , а следовательно, и стремятся к нулю. Тогда в равенстве (1) сумму можно переписать в виде , так как , и .
Справедливо и обратное утверждение: из представимости в форме (2) следует равенство (1), т. е. условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.
В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительно и , называют главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , при и .
Установим теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции двух переменных.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке. Доказательство. Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке , ее приращение представимо в виде , где , , и — некоторые числа, не зависящие от и .
Следовательно, , а это означает, что функция непрерывна в точке . Теорема доказана.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , . Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) , имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим .
Следовательно, в точке существует частная производная . Аналогично доказывается существование частной производной в точке Теорема доказана.
Утверждения, обратные утверждениям данных теорем, неверны, т. е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.
Например, функция непрерывна в точке О(0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. Действительно, . Функция не имеет предела при . Следовательно, (0; 0) не существует. Аналогично доказывается, что не существует (0; 0).
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , на нее налагают условия более жесткие, чем существование частных производных.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде: . Определение. Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.
Например, функция дифференцируема в любой точке R2 так как ее частные производные и всюду непрерывны.
Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение представимо в виде , где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и . Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.
Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде .
Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и ) часть приращения функции.
Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается .
Приращения независимых переменных и называют дифференциалами независимых переменных и и обозначают соответственно и . Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:
или в более краткой форме: . Пример. Найти полный дифференциал функции . Решение. для .
Пример. Найти полный дифференциал функции . Решение. Найдем частные производные функции: , .
Следовательно, для .
Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.
.
Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать , а для функции , зависящей от трех переменных , для ,.
Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:
, .
И в общем случае, .
Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.
Например, если задана дифференцируемая функция переменных . Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной
, а относительная погрешность ― величиной .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 905; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |