КАТЕГОРИИ: Главная Случайная страница Познавательное Новые статьи Контакты Заказать работу Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Рецензенты. Динамика внешнего и внутреннего спроса 123456789Следующая ⇒ М 56 Динамика внешнего и внутреннего спроса (процентов, к предыдущему году)   2007 год 2008-2010 годы 2011-2015 годы 2016-2020 годы Валовой внутренний продукт 8,1 6,4 6,4 6,3 Внутренний спрос 13,6 9,7 7,3 6,7 Импорт 27,3 17,2 8,5 7,5 Внутреннее производство 9,2 7,3 6,9 6,5 Внешний спрос (экспорт) 6,4 4,3 4,2 4,7 Структура источников покрытия прироста внутреннего спроса         импорт 48,7 42,5   23,6 внутреннее производство 51,3 57,5   76,4   ПРИЛОЖЕНИЕ № 4 к Концепции долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года Структура инвестиций в основной капитал по комплексам отраслей (процентов)   2007 год 2010 год 2015 год 2020 год Обрабатывающий сектор 11,9 11,3   11,3 в том числе машиностроительный комплекс 2,6 2,8 3,6   Связь 4,4 4,7   5,5 Транспортный комплекс 17,5 17,2 15,6 16,1 Энергетический сектор 7,4 7,3 5,6 3,4 Аграрно-промышленный комплекс 7,6 7,5 7,6 7,7 7,7 Добывающий сектор 15,2 13,2 12,2 11,2 Недвижимость 17,3 19,1 19,7   Социальный комплекс 7,6 8,7 9,7 10,7 10,7 Прочее 11,1   12,6 13,1 Источник: Интернет-портал Правительства Российской Федерации     доктор физико-математических наук профессор Санкт-Петербургского государственного университета В. В. Максимовидоктор технических наук профессор ФГБОУВПО «Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна» В. И. Пименов

Раздел 5. Первообразная и неопределенный интеграл

Глава 1. Определение первообразной. Свойства первообразной.

Операция нахождение производной от функции называется дифференцированием. Обратная дифференцированию операция - отыскание функции по ее производной называется интегрированием.

Функция F (x), производная которой равна функции f (x), т.е.

F ¢(x) = f (x) (1.1)

называется первообразной для f (x).

Так, например, если f (x) = x ⁿ, то ее первообразная есть F (x) = , так как

.

Tсли же f (x) = sin (2 x), то ее первообразная

F (x) = - 0.5 cos(2 x),

так как

.

Теорема. Пусть F ₁(x) и F ₂(x) две первообразные одной и той же функции f (x) на промежутке [a,b]. Тогда разность между ними есть постоянная величина С.

Доказательство. Обозначим за Ф(х) разность между F ₂(x) и F ₁(x), т.е. Ф(х) = F ₂(x) - F ₁(x) и возьмем производную от функции Ф(х)

(1.2)

Единственной функцией, производная которой при любом значении х равна нулю, есть постоянная величина, следовательно Ф(х) = const ≡ C и

F ₂(x) = F ₁(x) + С. (1.3)

Константа С называется постоянной интегрирования.

Пример. Функция F (x) = – 0.5 cos(2 x) является первообразной не только для f (x) = sin(2x), но и для f(x) = sin(2x) + 4, и для f(x) = sin(2x) - , и вообще для любой функции вида sin(2x) + C

Следствие. Ф ункция f (x) имеет бесконечное множество первообразных { F (x)}вида

F (x) + C, отличающихся на постоянную величину.

Глава 2. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так

, (2.1)

где ò - знак интеграла, читается “интеграл”,

f (x) - подынтегральная функция от переменной интегрирования х,

f (x)d x - подынтегральное выражение,

C - постоянная интегрирования.

Часто вместо слов "вычислить неопределенный интеграл" говорят "взять неопределенный интеграл".

Из определения интеграла следует, что

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции. Действительно

()¢ = (F (x) + C)¢ = F ¢(x) + 0 = f (x). (2.2)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. Действительно, так как d F = F ¢(x)d x, получим

d() = ()¢dx = f (x)d x. (2.3)

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной. Действительно, пусть F (x) - первообразная для функции f (x) (т.е. F¢(x) = f(x)). Тогда

F ¢(x)d x = = F (x) + C (2.4)

или

= F (x) + C (2.5)

Формулы (2.2 – 2.5) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В этой связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций можно построить таблицу основных интегралов.

Справедливость этих формул проверяется по формуле (1.1) непосредственным дифференцированием.

Линейные свойства неопределенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

(2.6)

Действительно, возьмем производную от левой и правой частей равенства по формуле (2.2) и проверим, что они совпадают, а это означает, что оба выражения есть первообразные одной и той же функции (1.2).

.

Таблица основных интегралов

2. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.

(2.7)

Доказательство аналогично.Действительно, возьмем производные от левой и правой части и проверим, что они совпадают. По формуле (2.2)

Замечание. Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит свою постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная интегрирования.

Пример. Найти .

Решение. Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде (1 = sin² x + cos² x) и разделим почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы:

Глава 3. Методы интегрирования

Для вычисления неопределенных интегралов часто используют так называемые стандартные методы интегрирования. Перечислим основные из них.

Метод замены переменной. Добиться упрощения подынтегрального выражения можно при помощи метода замены переменной интегрирования. Суть этого метода заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую непрерывную функцию х = j(t), имеющую непрерывную производную φ’(t) и обратную функцию , с тем, чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду. Тогда

и

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Априорных рекомендаций по эффективному применению этой формулы не существует и все зависит от интуиции и опыта исследователя.

Для доказательства, как мы это делали ранее, возмем производные по переменной х от левой и правой части и проверим, что они совпадают (формулы 2.2, 2.3)

Для вычисления производной от правой части вспомним, что . Тогда

Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти замену переменной интегрирования x = j(t), записать интеграл с новой переменной интегрирования t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной интегрирования, использовав обратную функцию .

Простейшие замены. К простейшим относятся линейная замена и замена типа «подведение под знак дифференциала».

Линейная замена основана на следующем соотношении. Пусть интеграл

является табличным. Тогда можно вычислить интеграл от функции f (ax + b)

. (3.2)

Для доказательства возьмем производные от левой и правой части равенства (3.2)

Пример 1. Вычислить .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

.

Тогда

Пример 2. Вычислить .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

Тогда

.

Замена типа подведение под знак дифференциала основана на формуле

(3.3)

т.е. в данном случае сделав замену , x = f ^{– 1}(t) мы проверяем, есть ли под знаком интеграла d t, а не находим d x.

Пример 3. Найти .

Решение. Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит сомножитель который является дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной:

t = arctg x.

Отсюда

dt = d(arctg(x)) = и e^{arctg x} = e^t.

Подставляя в исходный интеграл, имеем

= e^{arctg x} + C.

Пример 4. Найти .

Решение. Здесь уместна замена

t = cos x,

т.к. dt = - sin x dx, и sin³x dx = sin²x sinx dx = (1 – cos²(x)) sinx dx.

Поэтому

Метод интегрирования по частям. Пусть u (x) и v (x) две дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы от произведений функций и основан на формуле

(3.4)

или, в развернутом виде,

(3.5)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее применение полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух функций и выражение для взятия интеграла проще, чем подынтегральное выражение .

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций u (x) и v (x), имеем

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что (2.5)

Тогда

.

Из этого соотношения легко получить формулы (3.4), (3.5).

Пример 5. Найти .

Решение. Использование формулы интегрирования по частям позволяет вместо исходного не табличного интеграла вычислить только интеграл от sin x. Покажем это, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

= - x ∙cos(x) + =

= - x ∙ cos(x) + sin(x)+ C.

Обычно в интегралах за u (x) берут следующие функции:

ln(x), arсsin(x), arсcos(x), arсtg(x), arсctg(x)

а за v’(x) берут функции

е ^х, sin(x), cos(x).

Функцию х ⁿ, где n натуральное число, можно относить и к первой и ко второй группе.

Метод разложения на простейшие. Правильной рациональной дробью R (x) называется отношение двух полиномов (многочленов)

(3. 6)

где коэффициенты многочленов и .

Если дробь называется неправильной, такие дроби необходимо упростить, выделив целую часть и остаток в виде правильной дроби.

Знаменатель рациональной дроби имеет ровно n корней, среди которых есть действительные корни (кратные, т.е. повторяющиеся, и некратные) и комплексные корни, также кратные и некратные (комплексные корни являются корнями квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом).

Простейшими дробями или просто простейшими называются дроби вида

1. ,

соответствует действительному некратному корню знаменателя а,

1. , k – целое положительное число,

соответствует действительному кратному корню знаменателя а, число k называется кратностью корня,

1. , где знаменатель имеет только комплексней корни, т.е. ,

соответствует двум комплексным некратным корням,

1. , k – целое положительное число,

соответствует двум комплексным кратным корням, число k кратность корня.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей, поэтому приведем интегралы от первых трех видов простейших

1. . (3. 7)

2. . (3. 8)

3. . (3. 9)

Пример 6. Вычислить .

Решение. Используем формулу (3. 7)

.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Используем формулу (3. 8)

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Так как , то используем формулу (1.19)

Приведем примеры разложения правильной рациональной дроби на простейшие слагаемые, исходя из следующего правила:

каждому некратному корню соответствует простейшая первого вида,

каждому кратному корню кратности k соответствует k -1 простейшая второго вида с убывающими степенями знаменателя и одна простейшая первого вида,

каждым двум некратным комплексным корням соответствует простейшая третьего вида.

Пример 9. Разложить на простейшие рациональную дробь .

Решение. Корни знаменателя: х ₁ = -1 действительный некратный корень, и х ₂ = 0 действительный кратный корень кратности 2. Следовательно

.

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В₁ и В₂ приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены в числителе

Приравняем числители исходного и конечного выражений

.

Такое сооотношение возможно тогда и только тогда когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях х (если какая-то степень х отсутствует, то это значит, что коэффициент при ней равен нулю). Получим систему

Окончательно

Пример 10. Разложить на простейшие рациональную дробь .

Решение. Корни знаменателя: х ₁=0 действительный некратный корень, и два комплексных корня квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом

.

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В и D приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены

Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях х

.

Получим систему

Окончательно

.

Вычислим интегралы от рациональных дробей примеров 9 и 10, используя формулы (1.15-1.19).

Замечание. Существует большое количество интегралов, которые методом замены переменной можно свести к интегралам от рациональных дробей. К таким интегралам относятся интегралы от иррациональных функций вида

В этом случае надо сделать замену переменной вида , где r – общий знаменатель дробей m/n, k/s…

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Степени корней ¼ и имеют общий знаменатель 12. Следовательно, замена

=

Получили неправильную рациональную дробь (1.15). Разделим числитель на знаменатель

Следовательно

.

Продолжим вычисление интеграла

Вычислим отдельно интеграл от правильной рациональной дроби методом разложения на простейшие. Знаменатель имеет корни: t ₁= 1, t ₂= -1 и два комплексных корня, соответствующих множителю t ²+ 1.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены получим

Подставим полученное разложение рациональной дроби в интеграл

Раздел 6. Определенный интеграл

Глава 1. Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная непрерывная функция f(x). На плоскости XOY, как показано на рис.1.1, график этой функции, отрезок оси абсцисс и прямые x = a и y = b образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной трапеции равна S.

Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1}< x _i <... < x _n = b.

В точках деления проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ. Криволинейная трапеция разделилась на n узких криволинейных трапеций (элементарных трапеций) шириной Δ x _i = x _i - x _i-1 (i = 1, 2…n). Площадь каждой такой элементарной трапеции обозначим как Δ S _i.

На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] выберем произвольную точку , вычислим в точке функцию . Каждую i -ю полоску заменим на соответствующий прямоугольник, высота которого равна . Тогда площадь

Рис. 1.1. Криволинейная трапеция.

Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади исходной криволинейной трапеции.

S» . (1.1)

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i. Эту длину называют рангом дробления и обозначают r, т.е. r = max Δ x _i ® 0 при n ® ¥. При этом погрешность при вычислении площади будет стремиться к нулю и в пределе мы получим площадь криволинейной трапеции, т.е.

= S (1.2)

Сумму, стоящую в выражении (2.2) называют интегральной суммой.

Глава 2. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

Пусть на интервале [a,b] задана непрерывная функция f (x). Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1} < x _i<... < x _n = b.

На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] (i = 1, 2…n) выберем произвольную точку , вычислим в точке функцию и умножим на длину интервала Δ x _i = x _i - x _i-1, получим . Просуммируем по всем i, получим интегральную сумму

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i, т.е. ранг дробления должен стремится к нулю. Если независимо от способа разбиения отрезка [a,b] на части, для функции f(x) существует конечный предел интегральной суммы при n ® ¥ и r ® 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на интервале [a,b], а сама функция f (x) - интегрируемой на [a,b].

Для обозначения предельного значения суммы Лейбниц ввел символ " ", как стилизацию начертания буквы S - начальной буквы латинского слова Summa.

(2.1)

Читается: "Интеграл от a до b от функции f (x)". Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Интеграл существует для всех непрерывных и кусочно непрерывных функци (т.е. имеющих на интервале [a, b] только конечное число разрывов первого рода).

Определенный интеграл - есть число! Его значение зависит только от вида функции f (x) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.

Определенный интеграл имеет следующий свойства, вытекающие из определения.

1. (2.2)

2. (2.3)

3. (2.5)

4. (2.6)

Свойство аддитивности. Если функция f (x) интегрируема на интервалах [ a, c ] и [ c, b ], a < c < b, то она интегрируема и на интервале [ a, b ], при этом выполняется равенство

(2.7)

Свойство аддитивности имеет наглядный геометрический смысл: оно выражает свойство аддитивности площади, например, плоских фигур (см. рис.2.1).

Рис. 2.1. Аддитивность определенного интеграла.

Следствие. Если f (x) - нечетная функция, т.е. f (- x) = - f (x), то (2.8)

Если f (x) - четная функция, т.е. f (- x) = f (x), то (2.9)

Линейные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

(2.10)

Действительно, по определению

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем

(2.11)

Доказательство также основано на определении определенного интеграла

Интегрирование неравенств.

1. Пусть на интервале [ a, b ] функции f(x) и g(x) связаны соотношением (рис. 2.2).Тогда и для интегралов выполняется то же соотношение

Действительно

Рис. 2.2. Интегрирование неравенств. Зеленым обозначена разность площадей криволинейных трапеций.

2. По теореме Вейерштрасса функция непрерывная на замкнутом интервале достигает на нем своих наибольшего M и наименьшего m значений . Тогда (рис. 2.3)

Рис. 2.3.

3. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на интервале [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство (рис.2.4)

(2.12)

Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы о среднем

Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис.5): площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна значению функции f (с) в некоторой точке с, лежащей между а и b. Значение f (c) называется средним значением функции на интервале [a,b] и имеет обозначение

(2.13)

Глава 3. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f (x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) = , где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f (x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента D х столь малым, чтобы точка х + D х лежала внутри отрезка [a,b], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 3.1), приращение обозначено зеленым цветом).

DФ(х) = Ф(х + D х) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем

DФ(x) = = f(с)Dx, где с Î [ x, x +D x ].

Рис. 3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Следовательно, = f (с). Поскольку f (x) непрерывна и с ® x, если D х ® 0, то Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)

. (3.1)

А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f (x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f (x) .

Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического анализа.

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

(3.2)

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

Ф(x) = = F(x) + C. (3.3)

Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а. Действительно принимая во внимание, что

Ф(а) = = 0 (3.4)

из (3.4) получим:

- F (a) = C. (3.5)

Поскольку

Ф(b) = , (3.6)

то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа - формулу Ньютона – Лейбница

(3.7)

где F (x) - первообразная для функции f (x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F (x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. . Следовательно, по формуле (3.7)

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 501; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!