Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях

Означення 3.1. Множина М метричного простору Х, називається зв’язною, якщо при будь-якому розбиті її на дві непорожні множини, хоча б одна з них містить хоча б одну точку дотику другої.

Теорема 3.1. Образ зв’язної множини при неперервному відображенні є зв’язною множиною.

Доведення. Нехай , f неперервна функція, М зв’язна множина. Покажемо, що є зв’язною множиною. Розіб’ємо множину В на дві непорожні множини В ₁ і В ₂. . Через А ₁ позначимо прообраз множини В ₁, а через А ₂ – прообраз множини В ₂. Очевидно . Причому А ₁і А ₂- непорожні множини. Оскільки М є зв’язною множиною, то одна із множин А ₁або А ₂містить хоча б одну точку дотику другої. Нехай х ₀Î А ₁ і є точкою дотику множини А ₂. Нехай f(x₀)=y₀ , у₀ є В ₁. Візьмемо довільний окіл точки у₀. Внаслідок неперервності функції f в точці х ₀знайдеться окіл точки х ₀такий, що, коли то . Так як х ₀ – точка дотику множини А ₂, то в околі є хоча б одна точка з цієї множини, а значить в є хоча б одна точка з В ₂, тобто точка у ₀ є точкою дотику множини В ₂.

Аналогічно показуємо, що, якщо х ₀Î А ₂ і є точкою дотику А ₁, то у ₀ =f(x ₀ ) є В ₂ і є точкою дотику В ₁. Теорему доведено.

Означення 3.2. Відкрита зв’язна множина, називається областю.

Дата добавления: 2015-05-24