Модели обслуживания с приоритетами

При постановке задачи обслуживания с приоритетами предполагается, что в СМО поступают k независимых потоков требований, которым присваивают приоритеты:

- относительный приоритет – требование, заставшее все каналы занятыми, становится в очередь перед т ребованиями младших приоритетов (условно считаем, что по каждому приоритету существует очередь, и тогда, при освобождении каналов сначала обслуживаются требования из очередей со старшими приоритетами);

- абсолютный приоритет – требование, заставшее все каналы занятыми, прерывает обслуживание заявки младшего приоритета (если последняя занимает один из каналов), либо становится в очередь, которая соответствует его приоритету. При этом возможна потеря требования, обслуживание которого прервано, либо требование, обслуживание которого прервано, возвращается в очередь, и, при возобновлении обслуживания, учитывается время, ранее затраченное на его обслуживание, но возможно рассмотрения случая, когда при повторном обслуживании время до прерывания выполнения заявки в расчет не берется.

ЗАДАЧА 15. Одноканальная СМО, на вход которой поступают два независимых простейших потока требований с параметрами l₁ и l₂ (соответственно требованиям первого и второго типов). Требованиям первого типа (первого потока) присвоен абсолютный приоритет. Мест в очереди нет, поэтому требование второго типа, обслуживание которого прервано, теряется. Требование первого типа также может быть потеряно, если в момент его прихода в систему обслуживания единственный канал занят. Требование первого типа теряется, если в момент его прихода в СМО уже обслуживается требование старшего приоритета. Времена обслуживания требований первого и второго типов подчиняется экспоненциальному закону соответственно с параметрами m₁ и m₂.

◄ Требования младшего приоритета не оказывают никакого влияния на обслуживание требований старшего приоритета, поэтому для стационарного случая - вероятность потери требований старшего приоритета.

Время пребывания требования старшего приоритета x₁ распределено по закону при и при . Редакционная пометка: идёт речь об условных вероятностях и распределении времени при условии, что заявка «добралась» до соответствующего обслуживающего устройства.

Введём дискретную СВ ;

Доказано, что при принятых предположениях - однородный марковский процесс. Он не является процессом гибели-размножения, поскольку возможен переход из состояния “0” в состояние “2”. Интенсивности переходов: , , , , . Обозначим . Математическая модель СМО имеет вид:

Решая систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями можно определить нестационарные вероятности состояний случайного процесса .

Обозначим . По теореме Маркова существуют предельные вероятности , находимые решением алгебраической системы:

Последний результат требует комментариев. Пусть H₀ – событие, состоящее в том, что потеряно требование второго типа по причине занятости канала, H₁ – событие, состоящее в том, что требование второго типа вытесняется из канала обслуживания пришедшим требованием первого типа:

.

Поскольку - вероятность того, что длительность обслуживания требований второго типа превзойдет время до прихода первого требования первого типа, то

4

Дата добавления: 2015-06-25