Модели многофазных систем обслуживания

Определение. Многофазными называются СМО, состоящие из нескольких последовательно соединенных подсистем массового обслуживания, причем входящий поток каждой последующей подсистемы является выходящим предыдущей.

Рассмотрим подсистемы – одно- и многоканальные с очередями (например, число мест в очереди неограниченно) - интенсивность обслуживания n каналами.

При сделанных предположениях и при пуассоновских потоках заявок и обслуживания выходящий поток СМО будет пуассоновским. Отличительная особенность многофазных СМО является последовательное преобразование (по фазам) элементов входного потока несколькими приборами.

Многофазная одноканальная СМО. Например, технологическая цепочка – токарная обработка детали, термообработка, шлифование.

Поток заявок на входе в каждый прибор предполагается случайным, ординарным, однородным, при отсутствии последействия.

Возможные состояния многофазной одноканальной СМО могут быть описаны вектором вида , где k_i – длина очереди заявок на входе i -го прибора; , если i -ый прибор свободен, и , если i -ый прибор занят.

Предполагается, что при наличии заявки в очереди на входе в прибор, при уходе неё обработанной заявки, освободившееся место тотчас занимается заявкой, стоящей в очереди.

Порядок построения графа состояний – на примере многофазной одноканальной СМО с отказами, содержащую два последовательно работающих прибора.

- поступила 1 заявка и сразу на обслуживание; - две заявки: одна на обслуживание в первом приборе, одна в очереди к первому прибору; и.т.д.

Размеченный граф переходов одноканальной многофазной СМО

(ВНИМАНИЕ. На графе переходов нечётко указано направление - ПРАВИЛЬНО из в !!!)

Система уравнений Колмогорова составляется обычным образом (баланс входящих и выходящих потоков) и осуществляется переход к стационарному состоянию при . , где - вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_{i .}

Система является переопределённой, поэтому одно уравнение заменяется уравнением баланса:

Решив систему и используя найденные стационарные вероятности состояний, можно определить показатели эффективности рассматриваемой системы:

- вероятность простоя СМО – p₀;

- вероятность простоя первого прибора - (вторая компонента равна 0);

- вероятность простоя второго прибора - (четвертая компонента равна 0);

- вероятность полного отказа в обслуживании (равна сумме вероятностей состояний, у которых есть петлевые дуги);

- вероятность отказа с частичной обработкой равна сумме взвешенных по интенсивностям всех возможных выходов из тех состояний, для которых отказ обусловлен занятостью одного прибора (но не первого)

ЗАДАЧА 16. Построить граф возможных переходов состояний системы для технологической схемы, приведенноё на рисунке. Определить предельные вероятности состояний системы при . Сделать анализ результатов расчёта.

ЗАДАЧА 17. Построить граф состояний системы, заданной технологической схемой.

ЗАДАЧА 18. Однофазная система обслуживания с отказами с переменным числом каналов.

Приборы 1 и 2 работают на общий выходной поток. Очереди недопустимы. Если первый и второй прибор свободны, то при поступлении заявки загружается первый прибор (приоритет по загрузке первого прибора). Найти показатели эффективности функционирования СМО.

◄ Состояния СМО:

- вероятность простоя первого прибора;

- вероятность простоя второго прибора;

- вероятность простоя третьего прибора.►

Литература.

1. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: МГТУ им Н.Э.Баумана, 2006.- 448с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972. – 552с.

3. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. – М.:УРСС, 2004.- 235с.

4. Печинкин А.В., Толмачев А.И. Теория массового обслуживания: Методические указания к выполнению типового расчёта.- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э Баумана, 1994.-36с.

5. Little J.D.C. A proof of the queueing formula // Operations Research. - 1961.-V.9- P.383-389.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Мнемоническое обозначение СМО. В ТМО приняты очень удобные сокращенные обозначения для различных СМО, позволяющие легко охарактеризовать систему. В основе этих обозначений лежит обыкновенно трехбуквенная комбинация вида А/В/N,где: А – описывает распределение (или задает характер закона распределения) интервалов поступления заявок; В – описывает распределение длительностей обслуживания заявок; N – задает количество обслуживающих приборов в СМО.

Иногда, когда СМО является системой с ограниченной емкостью накопителя (или с ограниченной очередью), приведенное обозначение расширяется до четырех букв А/В/N/К, где последняя буква (на самом деле число, как и N) К задает емкость накопителя (количество мест ожидания).

Приведенные трех или четырех буквенные обозначения называют обозначениями Кендалла. В этих обозначениях А и В могут принимать значения из следующего набора символов { M, D, E_k, H_k, G, U }. При этом:

а) А или В=M, если распределение интервалов поступления или длительностей обслуживания заявок является экспоненциальным (М – от слова M arkovian – Марковский);

б) А или В=D,если интервалы поступления или длительности обслуживания являются детерминированными (D – D eterminate);

в) А или В=E_k, если соответствующие распределения являются Эрланговскими порядка k (E – E rlang);

г) А или В=H_k,в случае гиперэкспоненциальных распределений порядка k (H – H yperexponential);

д) А или В= G,в случае распределений общего(произвольного)вида(G – G eneral –общий,общего вида);

е) А или В= U – приравномерных распределениях соответствующих случайных величин (U – U niform distribution – равномерное распределение).

Так, например, обозначение вида:

М/М/1 означает СМО с простейшим потоком на входе и экспоненциальнораспределеннойдлительностью обслуживания заявок вприборе (один)

D/Е₂/3/5 – СМО с регулярным потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенной по закону Эрланга 2-го порядка, тремя обслуживающими приборами и пятью местами ожидания;

М/G/2 – СМО с простейшим потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенная по закону произвольного вида, и двумя обслуживающими приборами.

В случае СМО с неоднородной нагрузкой используются обозначения вида , где символ вектора над буквами А и В указывает на неоднородность нагрузки, а индекс Н задает количество классов заявок. Например, — это обозначение СМО с одним обслуживающим прибором, четырьмя классами заявок, которые образуют на входе системы простейшие потоки и имеют общие законы распределения длительностей обслуживания.

Дата добавления: 2015-06-25