Одномерное нормальное распределение

Алгоритм моделирования

Равномерное распределение

Алгоритмы моделирования для основных непрерывных распределений

НСВ имеет равномерно е распределение на интервале [a, b), обозначаемое R(a, b), если функция и плотность распределения определяются соотношениями:

(21)

Для произвольных значений параметров распределения a, b распределение R(a, b) обобщает распределение R(0, 1) БСВ a.

Среднее значение и дисперсия равны:

.

Алгоритм моделирования СВ основан на методе обратной функции. Обратная функция для из (21) находится при решении уравнения относительно :

Далее в соответствии с указанным методом алгоритм моделирования реализации СВ включает два шага:

· моделирование реализации БСВ

· принятие решения о том, что реализацией является величина :

Коэффициент использования БСВ k = 1.

НСВ с плотностью распределения

имеет одномерное нормальное (гауссово) распределение с параметрами: средним значением и дисперсией (обозначается ).

Распределение называется стандартным нормальным распределением, а НСВ ~ -стандартной нормальной (гаусовской) величиной. Функция распределения обозначается Ф(x) и имеет вид:

(22)

и называется функцией Лапласа.

Случайные величины и связаны соотношением:

,(23)

где -среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Таким образом, задача моделирования ~ сводится к моделированию стандартной гаусовской СВ и применению формулы (23). Опишем некоторые алгоритмы моделирования ~ .

Алгоритмы моделирования

Первый алгоритм реализуем методом суммирования, основанном на центральной предельной теореме: если -независимые БСВ, то при случайная величина

распределена асимптотически нормально, так что .

На практике приемлемая точность аппроксимации стандартной гаусовской СВ достигается при N=12. Таким образом, алгоритм моделирования ~ состоит из следующих шагов:

(a) моделирование N=12 реализацией БСВ.

(b) принятие решения о том, что реализацией СВ является величина x, равная:

Коэффициент использования БСВ .

Второй алгоритм основан на методе функционального преобразования БСВ. Известно, что если -независимые БСВ, то случайные величины

(24)

Являются независимыми стандартными гаусовскими. Таким образом, алгоритм моделирования ~ на основе данного метода позволяет получить из двух реализаций БСВ две независимые реализации СВ с помощью преобразований (24).

Лог - нормальное распределение

НСВ с плотностью распределения

.

имеет логарифмически-нормальное распределение (лог-нормальное распределение) с параметрами формы (стандартное отклонение СВ ).

Среднее значение и дисперсия ~ определяются формулами:

Очевидно, СВ имеет распределение , если СВ распределена по нормальному закону , причем . И наоборот: если ~ , то СВ . Эта связь распределений лежит в основе моделирующего алгоритма ().

Дата добавления: 2017-02-01