Розділ 1. Пружна й пластична деформація. Приклади й завдання

Енергія дислокації, що доводяться на одиницю її довжини:

                                                  (1.1)

де r― максимальна відстань, на якому є напруги, порушувані дислокацією;

r₀ ― радіус ядра дислокації;

k = 1 для гвинтової й k = 1 ― m для крайової дислокації;

m ― коефіцієнт Пуассона;

G ― модуль зрушення;

b ― вектор Бюргерса.

Мінімальне касаюче напруження, необхідне для руху дислокації:

                                                            (1.2)

де, а ― відстань між суміжними площинами ковзання.

Сила, що діє на дислокацію:

                                                                                    (1.3)

де τ - максимальне касаюче напруження.

Деформація зрушення

                                                                                   (1.4)

де р_Д  ― щільність дислокацій;

l ― середня довжина зсуву дислокацій.

Швидкість деформації зрушення

                                                                     (1.5)

Середня швидкість пробігу дислокацій при обробці металів тиском

                                                                          (1.6)

де C₁ ― кінцева швидкість процесу обробки металів тиском;

―максимальна кутова деформація.

Довжина пробігу дислокацій

                                                                   (1.7)

Максимальна напруга, що сколює, вигибаючи дислокацію в істочнику Франка – Ріда:

                                                                                (1.8)

Напруження від ідеальної дислокації на відстані від її осі:

                                                   ,                 (1.9)

де ― середня відстань між дислокаціями.

Рис 1.1. Схеми до рішення завдання до чистого вигину:
геометричні співвідношення до первісно прямого (а) та кривого (б) брусу: епюри напружень у кривому брусі (в) при наявності зміцнення та ідеальної пластичності (пунктирні лінії) (r_B= 0,5 r)

Приклади й завдання

Завдання 1. Відстань між атомами в напрямку ковзання дорівнює b. Відстань між площинами ковзання дорівнює а. Матеріал має просту кубічну ґратку (а =b). Відбулося зрушення на одну міжатомну відстань. Модуль пружності Е = 200 Гн/м² (20000 кГ/мм²)

Коефіцієнт Пуассона m = 0,25.

Чому дорівнює значення критичного напруги, що сколює, якщо зрушення здійснюється відразу по всій площині ковзання (див. рис. 1.1)? Провести розрахунки згідно варіанту.

Рішення. Відповідно до закону Гука , де G ― модуль зрушення, з періодичності дотичного напруження треба, що  Тоді

;

τ = 40 Гн/м² (4000 Кг/мм²).

Розділ 2. Основні закони теорії пружності й пластичності. Приклади й завдання

Різні форми запису узагальненого закону пружності:

                            (2.1)

                                                                       (2.2)

де τ_n , γ_n ― октаедрична напруга й зрушення.

                                                                        (2.3)

де узагальнена напруга

(2.4)

узагальнена деформація

                    (2.5)

Передбачається дотримання рівності

                                       ,                                         (2.6)

де показник виду напруженого стану

                          ;                    (2.7)

показник виду деформованого стану

                              .                          (2.8)

Зв'язок між середніми напругами й деформацією

                          ,                       (2.9)

де σ_ср , е_ср ― середні напруга й деформація;

― модуль об'ємної деформації.

Об'ємна деформація

                                 ,                            (2.10)

де υ і ∆υ - обсяг тіла і його зміна.

Умова сталості обсягу для малих деформацій

                             .                           (2.11)

Зв'язок між натуральними й відносної малими деформаціями

      ; ;  .               (2.12)

Умова сталості обсягу для кінцевих деформацій

                          .                             (2.13)

Обсяги, що зміщають по осях координат:

               ;  ;  .                      (2.14)

Зв'язок між зміщеними обсягами

                             .                                        (2.15)

Умова пластичності максимальних напруг, що сколюють (Сен-Венана) при плоскій деформації:

у головних осях

                                 ;                                        (2.16)

у довільних осях

                    .                             (2.17)

Умова пластичності по енергетичній теорії

                  (2.18)

або       ,

де коефіцієнт Лоде

                              .                        (2.19)

Узагальнена умова пластичності для плоскої деформації

                           ,                      (2.20)

де ― по теорії максимальних дотичних напружень;

― по енергетичній теорії.

Наближені умови пластичності:

при ; ,                                                 (2.21)

де K = 2k і    υ = ± 1;

при ; .                                                     (2.22)

Рівняння кривої зміцнення при розтяганні кристала із простими кубічними ґратами

                                               (2.23)

Закон зв'язку між узагальненими напругами й деформацією для полікристалічного тіла

                                                              (2.24)

де σ_i , е_i ― узагальнені напругу й деформація;

σ_s, е_s ― межі пружності й пружної деформації;

         n ― коефіцієнт, обумовлений з досвідів в умовах

                  найпростішого напруженого стану й завжди

                  0 ≤ n ≤ 1: n =0 для ідеально пластичного тіла;

                  0 < n < 1 для тіла, що володіє зміцненням;

                  n = 1 для пружного тіла;

v = ± 1 x величина, призначувана при задоволенні граничних 

             умов. ( Надалі для стислості запису опускається.)

Інша форма запису закону (2.24):

                                         .                                   (2.25)

Закон зв'язку між узагальненою напругою й деформацією при прокатці, волочінні й пресуванні в умовах плоскої деформації:

                                .                             (2.26)

Приклади й завдання

Завдання 2. Приблизно визначити закон зміцнення і його величину при обтисненні е = 25% , коли зменшення площини дислокацій за рахунок їх анигиляцій мало, якщо довжина їхнього вільного пробігу l у процесі деформації не змінюється й дорівнює l =10^-4см. Уважати, що зміцнення визначається далекодіючими напругами. Провести розрахунки згідно варіанту

Рішення. Деформація пов'язана із площиною дислокацій, вектором Бюргерса й довжиною пробігу так: е = рbl , звідси  й . На підставі цих співвідношень напруги, викликані дислокаціями

                             .

Тому що b = 3·10^-8см, можно принять , тогда . При е = 0,25 ; G = 7.85·10⁴ Мн/м² = 8·10 Кг /мм². Металл зміцнюється на

σ = 400 Мн/м² = 40 Кг/мм².

Закон зміцнення, зневажаючи пружною деформацією, можна прийняти у вигляді:               .

Завдання 3. Визначити приблизно закон і величину зміцнення при обтисненні 25% (див. попереднє завдання), якщо довжина вільного пробігу дислокацій визначається далекодіючими напругами або перетинаннями.

Рішення. Можна прийняти, що довжина вільного пробігу

дислокацій , де α - коефіцієнт, обумовлений деталями взаємодії.

Експериментально отримано, що й більше. Тоді з

рівності е = рbl одержуємо , звідки .

Напруги, викликувані дислокаціями .

Як для далекодіючих напруг (див. завдання 2), так і для роботи джерела Франка-Рида . Тоді . При α = 10² й G = 8,00·10⁴ Мн/м² (8000 кГ/мм²) маємо σ = 200 Мн/м² (20 кГ/мм²).

Закон зміцнення можна прийняти в такому виді: .

Дата добавления: 2023-10-24