Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ряд Лорана




Будем предполагать, что функция f(z) аналитична в кольце К: .

 

 
 

Рис. 1

Теорема 11. Если функция f(z) аналитична в кольце К, то она в этом кольце может быть представлена рядом Лорана:

, где

- любой замкнутый контур, лежащий целиком в кольце К и охватывающий точку а, которая является центром разложения.

Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n <0.

Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана.

Ряд Лорана (а) сходится в области, в которой сходятся ряды (б) и (в). Пусть ряд Тейлора сходится в круге , ряд (б) сходится вне круга

, тогда если r>R, то ряд Лорана расходится, если r<R, то сходится в кольце К.

Пример.

Рассмотрим разложение функции f(z).

. Выберем в качестве центра разложения точку z=0.

1) Функция f(z) аналитична в круге . В соответствии с теоремой 10 она может быть представлена рядом Тейлора: .

 

 
 

Рис. 2

2) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана:

,

3) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана:

,




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 451; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.006 сек.