Вывод основного уравнения гидродинамики для турбулентного режима

(уравнения Рейнольдса)

+ + = 0 – уравнение неразрывности

+ + = 0

+ + = 0 – уравнение неразрывности турбулентного течения

= - +

Уравнение Навье - Стокса

= +

+

Приближение Буссинеска:

-= = _г-= = _ги т.д.

Тогда:

= (_т)– Уравнение Рейнольдса в приближении Буссинеска.

= - =

Параметры турбулентности:

L – масштаб турбулентности – расстояние в потоке, на котором средняя скорость изменяется на величину пульсационной составляющей.

L = , константа Кармана для крупномасштабных пульсаций

Изменение средней скорости на масштабе турбулентности

= 1/2= L=,

Выражение получается взаимной подстановкой друг в друга приведенных ниже зависимостей.
, так как разложение в ряд и ограничение его первым членом дает

L

= - L, так как разложение в ряд и ограничение его первым членом дает

L,

Re_L = Re_x = , - крупномасштабная пульсация, x мелкомасштабная пульсация и L, таким образом диссипирует энергию мелкомасштабной пульсаци, так как малый критерий Re- это большая сила трения, большая вязкость, а, следовательно, большая величина диссипированной энергии.

На основе теории размерности можно получить выражение для турбулентной вязкости:

; L ;; – параметры потока, характеризующие течение:

= = L²= ²y²

_т = = ²y²

= _г²y²

= - ²y²

После определения значений _т и можно решать конкретные задачи с использованием уравнения Рейнольдса.

Определим профиль скоростей в плоском квазистационарном турбулентном потоке.

Определить профиль скоростей в плоском, квазистационарном, турбулентном потоке при безнапорном течении

а) профиль скоростей, полученный решением уравнения Рейнольдса.

б)профиль скоростей в приближении пограничного слоя.
Из уравнения Рейнольдса при оговоренных условиях имеем:

= – слабо зависит от y. = ²- пропорционально y². Решаем методом асимптотического анализа со сращиванием полученных решений:

y; ; =

- линейная зависимость.

y; ²

Интегрируем и получаем:

lny+ С – логарифмический профиль скоростей в потоке вдали от стенки

= – назовем, согласно размерности динамической скоростью^*

=

=^*=^* - пульсационная составляющая и динамическая скорость – это одно и то же.

Re = (при равном соотношении сил трения и инерции выбираем точку сращивания у, т.к. асимптотические решения получены для случаев превалирования силы трения (решение при уили силы инерции (решение при у)

Координата сращивания равна:

у₀=

у₀= = == lny₀+C ^*-lny₀

Важный вывод: скорость в точке сращивания равна пульсационной составляющей ,a - равна 0, что согласуется с гипотезой прилипания

ln+^*= ^*

Точное решение этой задачи имеет вид:

^*

Полученные в результате решения уравнения Рейнольдса два различных вида профилей скоростей: линейного у стенки и логарифмического профиля скорости вдали от нее и вид соответствующих функций согласуется с гипотезой Прандтля о наличии в пристенной области пограничного слоя с иным, чем в ядре потока механизмом переноса количества движения.

Дата добавления: 2014-01-14