Основные формулы вычетов в полюсе

1. Найдем вычет Res, полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. Обозначим через с замкнутый контур, целиком лежащий в области аналитичности функции f(z) и охватывающий точку а. По теореме о вычетах:

Res

По формуле Коши:

Из сравнения полученных результатов следует Res

2. Найдем Res , полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. По теореме о вычетах: Res

С другой стороны по формуле Коши для производных:

Из сравнения полученных формул следует

Res

3. Общая формула вычета в полюсе первого порядка.

Пусть а – полюс первого порядка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:

Перейдем к пределу при в последнем выражении:

Res

Res

4. Найдем Res, полагая, что

При выписанных условиях точка а является полюсом первого порядка функции . Воспользуемся полученным в предыдущем пункте выражением.

Res

. Получим формулу

Resпри

5. Общая формула вычета в полюсе порядка m.

Пусть а – полюс порядка m функции f(z). Выпишем соответствующий этому полюсу ряд Лорана:

Продифференцируем последнее выражение (m-1) раз

Перейдем к пределу

Res

Получим следующие формулы вычетов в полюсе

Res

Res

Res,

Res(Общая формула вычета в полюсе первого порядка)

Res(Общая формула вычета в полюсе порядка m)

Пример 1.

, с:

рис. 1

(3 формула вычета)

Пример 2.

, с:

рис. 2

- являются полюсами первого порядка.

Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя.

Аналогичным образом легко показать, что , поэтому

Дата добавления: 2014-01-14