Бесконечно большая и ограниченная функции

Рассмотрим случай, когда функция .

Определение 3. Функция при , т.е. является бесконечно большой величиной, если для каждого сколь угодно большого М >0, можно указать д > 0, что для всех .

Если и при этом принимает только положительные значения, то , если только отрицательные значения, то .

Пример 4. Докажем .

М > 0; ; ; ; .

Пример 5. , . , , .

Если при , то пишут . Например, , .

Замечание 1. Функция может не иметь предела при или при : при не имеет предела; определена для всех х кроме х = 0, не имеет предела при .

Замечание 2. Указанные определения не позволяют найти предел функции.

Определение 4. Функция называется ограниченной в данной области изменения аргумента F, если существует , такая, что . - ограничена.

Определение 5. Функция называется ограниченной при , если существует окрестность точки а, в которой функция ограничена.

Определение 6. Функция называется ограниченной при , если существует , что для всех .

Вопрос об ограниченности функции, стремящейся к пределу, решается следующей теоремой:

Теорема 1. Если при этом b конечное число, то функция является ограниченной при .

Доказательство. Дано . . , .

.

Из определения ограниченной функции следует, что если или , т.е. если бесконечно большая, то она является неограниченной.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Например, при неограниченна для любого М > 0 можно указать х: . Но функция не является бесконечно большой, т.к. обращается в нуль при .

Теорема 2. Если , то функция есть неограниченная функция при .

Доказательство. в некоторой окрестности точки а.

или

,

. Это значит, что функция ограничена.

Дата добавления: 2014-01-14