Лекция №9

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)^p-1)/px]=1

^x®0

y=(1+x)^p-1

lim [((1+x)^p-1)/px]= x®0 Þ y®0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)·

^x®0 (1+x)^p=y+1 ^{x®0 x®0}

p[ln(1+x)]=ln(y+1)

·lim([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ (1+x)^p-1~px при x®0

^{x®0 y®0} (1+x)^p=1+px+o(x) при х®0

2) Доказать, что lim (e^x-1)/x=1

^x®0

y=e^x-1

lim (e^x-1)/x= x®0 Þ y®0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ

^x®0 e^x=y+1 ^y®0

x=ln(y+1)

e^x-1~x при x®0

e^x=1+x+o(x) при х®0

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О°(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1 ^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’, но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)¹b. Тогда точка х₀

^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

точка устранимого разрыва.

1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не $, x=1

б) f(x)=c¹b

Можно доопределить или переопределить в точке х₀, так что она станет непрерывной.

$ lim f(x)=b; lim f(x)=c, но b¹c

^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

Может быть и определена f(x₀)=b

Или f(x₀)=d

2)Точка х₀ называется точкой разрыва 2 ^ого рода функции если она не является точкой разрыва 1 ^ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y=sin(1/x)

Дата добавления: 2014-01-14