Иx свойства

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Единственность предела функции.

Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен.

Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и. Возьмем e>0 так, чтобы окрестности точек A и B не пересекались. По определению предела функции: существует такое d>0, что из |x-a|<d следует |f(x)-A|<e, |f(x)-B|<e, т.е. значения f(x) лежат одновременно в e-окрестности точки A и e-окрестности точки B, чего быть не может, т.к. окрестности не пересекаются, полученное противоречие доказывает теорему.

Ч.т.д.

Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x₀, если.

Обозначается a(x) – б/м при x®x₀.

Функция a(x) – б/м при x®x₀, если " >0 $d>0: из |x-x₀| <d Þ |a(х)|<.

Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной, если существует такое число M >0, что |f(x)| М при ".

Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой при x®x₀, если.

Обозначается f(x) ‒ б/б при x®x₀.

Функция f(x) ‒ б/б при x®x₀, если для любого А>0 найдется d>0: из неравенства |x-x₀|<d следует неравенство |f(x)|>А.

В качестве x₀ может быть конечное число, ±¥ или ¥.

Свойства.

1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.

2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.

3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б/м.

Замечание: Частное двух б/м является неопределенностью вида.

4. Сумма конечного числа б/б есть б/б.

5. Произведение конечного числа б/б есть б/б.

6. Произведение б/б на любую не б/м есть б/б.

Замечание: Разность двух б/б является неопределенностью вида (¥-¥).

Замечание: Частное двух б/б является неопределенностью вида.

Замечание: Произведение б/б на б/м является неопределенностью вида.

7. Частное от деления б/б на ограниченную функцию есть б/б.

8. Б/м и б/б ‒ взаимообратные функции.

Док-во:

1) б/м есть обратная величина для б/б..

Пусть f(x) – б/б при x®x₀. Тогда по определению б/б: для любого A>0 такое, что из неравенства |x-x₀| <d будет следовать неравенство |f(x)| >A. Перейдем к обратным величинам: |1/f(x)| < 1/A Þ б/м по определению.

2) б/б есть обратная величина для б/м.

Пусть a(x) – б/м при x®x₀. Тогда по определению: " >0 $ d>0 такое, что из неравенства |x-x₀|<d Þ неравенство |a(x)|<. Перейдем к обратным величинам: |1/a(x)| > 1/, что означает по определению, что 1/a(x) – б/б величина.

13. Арифметические операции с пределами.

Теорема 1: Пусть, а, тогда

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

, как сумма двух б/м.

Ч.т.д.

Теорема 2: Пусть, а, тогда.

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

f(x)·j (x)= (A±a(x))·(B+b(x))=A·B+A·b(x)+ a(x)·B+ a(x)·b(x)=A·B, так как A·b(x) и a(x)·B и a(x)·b(x) стремятся к нулю при x®x₀ по свойствам б/м. Переходя к пределу при x®x₀ получаем требуемое.

Ч.т.д.

Теорема 3: Пусть, а, тогда, где B¹0.

Доказывается теорема аналогично теоремам 1 и 2.

Следствие:, где C-const.

Неопределенности. Если не применимы основные теоремы о пределах, свойства б/м и б/б, то возникают неопределенности вида:,, (0·¥), (1^¥), (0⁰), (¥⁰), (¥-¥).

Рассмотрим три вида неопределенности:, (¥-¥),.

Пример. Вычислить пределы.

1) = =

2)

3)

от неопределенности избавимся следующим образом: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.

4)

чтобы избавиться от иррациональности, надо умножить и поделить на сопряженное выражение.

Дата добавления: 2014-01-15