Екстремум функції

ЛЕКЦІЯ 13: ЕКСТРЕМУМ ТА УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Функція має максимум (мінімум) в точці М ₀(х ₀, у ₀), якщо для будь-якої іншої точки М (х, у) з деякого околу точки М ₀(х ₀, у ₀) виконується нерівність (відповідно нерівність ).

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом. Точка М ₀, в якій функція має екстремум, називається точкою екстремуму.

Необхідна умова екстремуму. Якщо диференційовна функція досягає екстремуму в точці М ₀(х ₀, у ₀), то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються критичними або стаціонарними точками. Не всяка стаціонарна точка є точкою екстремуму.

Достатня умова екстремуму. Нехай функція : а) визначена в деякому околі стаціонарної точки М ₀(х ₀, у ₀), в якій б) має в цій точці неперервні частинні похідні другого порядку Тоді, якщо , то в точці М ₀(х ₀, у ₀) функція має екстремум, причому якщо - максимум, якщо - мінімум. У випадку функція екстремуму не має. Якщо , то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції .

Знаходимо частинні похідні першого порядку:

Знайдемо стаціонарні точки, скориставшись необхідною умовою екстремуму:

або

Ця система має чотири розв’язки: (1,1), (1,-1), (-1,1) та (-1,-1).

Знайдемо частинні похідні другого порядку:

обчислюємо їх значення в кожній стаціонарній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

У точці (1,1) А =-2, В =0, С =-2. Оскільки і , то точка (1,1) є точкою максимуму.

У точці (1,-1) А =-2, В =0, С =2. Оскільки , то точка (1,-1) не є точкою екстремуму.

У точці (-1,1) А =2, В =0, С =-2. Оскільки , то точка (-1,1) не є точкою екстремуму.

У точці (-1,-1) А =2, В =0, С =2. Оскільки і , то точка (-1,-1) є точкою мінімуму.

Знайдемо екстремуми функції

Дата добавления: 2014-01-15