V. Підведення підсумків заняття

ІV. Узагальнення та систематизація знань

План

ІІІ. Виклад нового матеріалу

І. Організаційний момент

Хід заняття

Лекція 14

Тема: Нормальний закон розподілу

Мета: Ознайомити студентів з нормальним законом розподілу та формулами знаходження числових характеристик при нормальному розподілі.

Література

1. Соколенко О. І. Вища математика. Підручник. К.: Академія, 2002.

2. Литвін І.І. та інш. Вища математика. Навчальний курс. Л.: Глобус, 2002.

3. Овчинников П.П. Вища математика. Ч.2. – К.: Техніка, 2004.

а) готовність групи до заняття;

б) перевірка присутніх.

ІІ. Актуалізація опорних знань студентів

а) повідомлення теми та мети заняття;

б) відповіді на запитання раніше вивчених лекцій.

1. Нормальний закон розподілу

VІ. Домашнє завдання: вивчити матеріал лекції.

Зміст лекції

Серед розподілів неперервних випадкових величин центральне місце займає нормальний (закон Гаусса). Він часто застосовується в задачах практики, проявляється в тих випадках, коли випадкова величина Х є результатом дії великого числа факторів, кожний з яких окремо на величину Х впливає мало і не можна виділити, який більше, а який менше.

Основна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.

Означення. Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, якщо її густина розподілу має вигляд:

(1)

для довільного значення і довільних чисел і .

Числа і називають параметрами розподілу і мають певний ймовірнісний зміст, який розглянемо нижче.

Графіком функції (1) є крива, яку в літературі називають кривою Гаусса, або нормальною кривою.

Якщо у формулі (1) покласти , отримуємо нормовану функцію Гаусса, яка нам уже траплялася в теоремах Муавра-Лапласа під назвою функції Лапласа.

Бачимо, що нормальний розподіл визначається двома параметрами: і . Досить знати ці параметри, щоб задати нормальний закон розподілу. Доведемо, що ймовірнісний зміст цих параметрів наступний: - математичне сподівання, а - середнє квадратичне відхилення.

Дійсно:

Перший доданок , бо функція непарна, а інтегрування ведеться в межах, симетричних відносно початку координат; другий доданок - інтеграл Пуассона, отже:

. (2)

. (3)

Відмітимо деякі властивості нормальної кривої:

а) крива симетрична відносно прямої і ;

б) крива має один максимум при , бо при , при і , при ;

в) крива асимптотично наближається до осі , бо ;

г) зміна математичного сподівання при призводить до зміщення кривої Гаусса вздовж осі .

При зміні середнього квадратичного відхилення і крива розподілу міняє свій вигляд (див рис.1), де крива І відповідає , крива ІІ - , а для кривої ІІІ - , .

Дата добавления: 2014-01-15