Основные этапы развития математики

Историю математики нельзя рассматривать в отрыве истории развития философии и науки в целом, ибо все эти три интеллектуальных познания тесно связаны между собой и оказывают влияние друг на друга, как во времена Древнего мира, так и в Новое время. В силу сказанного для полноты изложения и удобства чтения мы будем иногда обращаться к истории философии и науки.

При историческом рассмотрении развития математики необходимо как можно в большей степени отвлечься от современного понимания математики, и попытаться посмотреть на развитие математики в соответствующий период ее развития глазами математика того времени. Это часто трудно сделать.

Во-первых, для этого необходимо ломать сложившиеся в результате школьного воспитания и университетского образования традиционные взгляды не только на историю развития математики, но также и на ее содержание.

Во-вторых, история любой науки, в том числе и математики, обросла многими легендами, мифами, которые сегодня многими воспринимаются за ту действительность, которая существовала в описываемое историками время.

В-третьих, современные математические язык и символика, которые знакомы как авторам, так и читателям, принципиально отличаются от математического языка и его символики, которые существовали в описываемый исторический период. Сам перевод с более раннего математического языка на современный математический язык содержит в себе возможность искажения первоначального математического содержания.

Искажения возникают, в частности, в результате предписывания исследуемым авторам определенных мыслей, которые и не могли возникнуть в их сознании, а понятиям содержания, которых у них не могло принципиально существовать. В качестве примера можно привести богатые содержанием широко известные книги по истории математики, такие, как Ван дер Варден (1), О. Нейгебауэр (1), «История математики» (1), на которые мы ниже будем ссылаться. Упомянутые выше проблемы сродни с проблемами, с которыми сталкивается переводчик литературных произведений с одного языка на другой.

Примером таких проблем могут послужить проблемы, возникающие при переводе Ф. Рабле со старофранцузского языка на современный французский язык.

Содержание и смысл математических понятий менялись с течением временем. Поэтому то, что мы сегодня понимаем под тем или иным математическим термином или понятием, очень часто не соответствует тому, что понимал под этим понятием математик, живший за несколько веков до нашего времени. Вполне возможно, что существует определенная связь между этими двумя пониманиями, которая часто основана на некоторой аналогии, но гораздо чаще эта связь является плодом желания историка «построить мост» между двумя историческими периодами. В качестве примера можно привести Птолемея, которому приписывается открытие тригонометрии, потому что он использовал некие понятия, которые после многовекового развития привели к современным тригонометрическим функциям. Тригонометрические функции являются математическими понятиями, которые в современном понимании появились только в XVIII веке.

Так как история математика развивалась на фоне общего исторического развития науки, то эту историю можно аналогично разделить на три периода. Эти исторические периоды определяются интеллектуальными революциями, которые происходили в начале этих периодов и которые изменяли цели и методологию математических исследований в рамках методологии всей науки.

Первый период развития математики начался с момента возникновения математики в результате первой интеллектуальной революции как научной дисциплины в VII – VI веках до н.э. в древней Греции и продолжался до начала XVII века. Этот период, длиной более двух тысяч лет, можно условно назвать греческим, ибо греки создали математику, и влияние греческой математической методологии в течение первого периода было решающим.

Ту область знаний, которая существовала до математики и которая занималась количественным решением практических задач, будем называть прематематикой. В литературе иногда используют в указанном смысле термин «предматематика». Так как в термине «предматематика» заложена коннотация, как будто с появлением математики предматематика исчезает, вливается в математику (с чем мы, в общем случае, не согласны), то мы предпочитаем использовать термин «прематематика».

Греки совершили уникальный интеллектуальный подвиг в процессе первой интеллектуальной революции, создав одновременно интеллектуальную тройку: философию, математику и физику. Интеллектуальные составляющие этой тройки оказали решающее интеллектуальное влияние на развитие человеческой цивилизации в разные последующие исторические отрезки. Так в греческий период развития решающую роль в развитии европейской цивилизации сыграла греческая философия, которая стала одной из основ, из которой выросла христианская цивилизация и, по существу, значительная часть духовной сути европейской цивилизации. Это утверждение нисколько не умаляет роль математики и физики в интеллектуальной жизни человечества, но все же в тот исторический период только греческая философия оказала принципиальное историческое влияние на все дальнейшее развитие человечества, ибо только она выжила после исчезновения греческой цивилизации. Это выживание связано с тем, что только греческая философия «вышла» за стены греческих школ и академий и оказала большое влияние на возникновение и развитие христианской теологии. Результатом этого вживания греческой философии в христианскую теологию и было воскрешение к жизни уже мертвых к тому времени математики и физики.

Поэтому в греческий период саму математику можно было скорее рассматривать как составную часть всей греческой интеллектуальной культуры, которая включала в себя также греческое искусство, греческую философию, физику, различные виды интеллектуального спорта и т.п. В этом качестве математика служила образцом интеллектуальной красоты и гармонии. Греческая математика не имела никакой связи с решением практических задач, т.е. с прематематикой, которая у греков называлась логистикой и которая развивалась сама по себе, ведомая потребностями экономического и технологического развития этой цивилизации.

С исчезновением греческой цивилизации греческая культура, в том числе и математика, сохранилась, в основном, в книгах. С помощью книг, посвященных различным аспектам греческой культуры, в средние века с ней ознакомились и другие народы: индийцы, арабы, европейцы. Несмотря на ряд блестящих находок (например, десятичная позиционная система представления чисел), все же основное достижение индийцев и арабов в математике было то, что они сохранили и передали греческую математику в книгах европейцам. Европейцы не только ознакомились и усвоили математические знания, накопленные другими народами, но и овладели, в отличие от индийцев и арабов, дедуктивным методом проведения математических доказательств.

Интеллектуальное и технологическое развитие западноевропейцев к началу XVII века достигло такого уровня, что интеллектуальные рамки греческой физики и математики стали для них узкими, и они были вынуждены выйти далеко за них. В XVII веке в интеллектуальной жизни Европы произошла вторая интеллектуальная революция, которая началась с философии, а затем захватила физику и математику и которая ознаменовала конец первого, греческого исторического периода развития математики и начало нового, европейского, периода развития математики. Этот период продолжался три с половиной столетия и закончился во второй трети ХХ века.

Интеллектуальная революция XVII века «переработала» греческую интеллектуальную троицу в европейскую интеллектуальную троицу, состоящую из европейской философии, европейской математики и европейской физики. Однако эта революция по-другому

расставила ударения в этой тройке. Решающую роль в этот период стала играть, прежде

всего, европейская физика, которая послужила основой для технологического развития

Европы, а затем и всего мира. Европейская физика была первой из этой троицы, которая

«вышла» за стены университетов и академий и оказала решающее влияние на развитие

всех отраслей промышленности, транспорта и связи. Европейская философия и

европейская математика отошли, в определенном смысле, на второй план: европейская

философия осталась жить за стенами монастырей, университетов и академий; европейская

математика только благодаря физике начала выходить за стены учебных заведений во

второй половине XIX столетия.

Вторая интеллектуальная революция, прежде всего, изменила цели науки и вместе с

ней и цели математики. Если греческая наука ставила своей целью объяснить

естественные явления, то европейская наука поставила своей целью описание этих

явлений. Языком этого описания и служила математика. Иначе говоря, если греческая

математика была, по своей сути, видом интеллектуального искусства, то европейская

теоретическая математика стала прикладной наукой, которая стала служить сначала

языком теоретической физики (естествознания), а затем и языком политической экономии

и других конкретных теоретических наук. Математика, которая до того времени основное

внимание уделяла только внутренним математическим задачам, вдруг обратилась к изучению внешних, не связанных с самой математикой, задач. Другими словами,

математика изменила направление своих исследований и повернулась лицом к внешнему

миру.

В связи с тем, что эта революция привела к появлению двух физик, которые

принципиально отличались друг от друга: европейской теоретической физики и

экспериментальной физики, - то возникли и две математики: европейская теоретическая

математика и европейская прагматическая математика. Теоретическая математика, как мы

только что сказали, служила языком теоретической физики, а прагматическая математика

разрабатывала методы для обработки результатов измерений (наблюдений), изобретала

методы для нахождения универсальных физических постоянных, а также осуществляла

вычисления на основании математических формул. Каждая из этих двух математик

принципиально отличались от греческой математики, как языком, так и методологией

математических исследований. Но эти математики также отличались друг от друга.

Математический анализ, который олицетворял собой новую теоретическую

математику, базировался на совершенно новой философии, созданной европейцами, на

философии Декарта. Прагматическая математика, как часть европейской прагматической

науки, имела своим основанием эмпирическую европейскую философию, идущую от Ф.

Бэкона.

Появление и бурное развитие обеих европейских математик не прекратило развитие

греческой математики, а только отодвинуло ее несколько в сторону, сделало занятия этой

математикой менее модными. В подтверждение этому можно сказать, что на протяжении

всего второго периода многие математики занимались решением математических задач,

которые являлись характерными для греческой математики. Здесь были получен ряд

блестящих результатов, которые можно отнести к выдающимся произведениям

интеллектуального искусства.

Уже в первой трети XIX века европейская теоретическая математика стала

испытывать серию внутренних кризисов, которые были связаны с различными аспектами

оснований математики. Если первые кризисы удалось математике счастливо пережить, то

в конце второго периода, т.е. в первой трети ХХ века, возникли такие глубокие кризисы,

связанные с методологическими внутренними проблемами обоснования математики,

которые привели к определенному методологическому расколу на несколько различных

течений. Если в начале второго периода, в XVII веке, европейская теоретическая

математика являлась языком теоретической науки (физики), то к началу ХХ века

обнаружилась недостаточность языка и методологии существующей европейской

математики для дальнейшего развития европейской теоретической науки, которая к этому

времени расширилась и включала в себя политическую экономию. Более того, сама

теоретическая математика разделилась на две части: на прикладную теоретическую

математику и на чистую математику. Если прикладная математика являлась языком

теоретической науки, то чистая математика представляла собой, по своей сути, род

интеллектуального искусства.

Европейская прагматическая математика, которая появилась на свет одновременно с

европейской теоретической математикой, бурно развивалась весь второй исторический

период, обслуживая в конце этого периода не только экспериментальную физику и другие

экспериментальные науки, но, главным образом, всевозможные инженерные расчеты.

Таким образом, прагматическая математика вышла за стены университетов и академий, в

то время как теоретическая математика осталась внутри этих стен.

Третий период развития математики начался во второй трети ХХ века и продолжается

до сих пор. Вторая треть ХХ века характеризуется революционными изменениями почти

во всех областях человеческой деятельности и жизни. В жизни человеческой цивилизации

в целом произошли такие крупные события, которых она не только не знала, но и не

предполагала. Всемирный экономический кризис, Вторая мировая война, закончившаяся атомной бомбардировкой, распад колониальных империй, холодная война, атомное

оружие и связанный с ним ядерный шантаж, холодная война, выход на мировую арену

новых принципиальных игроков и т.д. и т.п. Произошел ряд революций в промышленных

технологиях, что позволило обогатить и облегчить повседневную жизнь человека с

помощью новых технических средств, создав при этом и средства быстрого уничтожения

человечества. Человечество существенно раздвинуло границы своего потребления не

только в старых направлениях, но и добавило значительное число новых направлений.

Социальные, политические и промышленные изменения в жизни человеческой

цивилизации потребовали новой организации в экономической и социальной сферах ее

управления. Эти события и изменения не могли обойти стороной науку. Они и само

развитие науки вызвали революционные изменения и в целях и методологии научных

исследований.

Новая интеллектуальная революция поставила во главу научного развития проблемы

управления различными сложными системами, как промышленными, так и социально-

экономическими. Специфика возникших проблем заставила человеческий интеллект

искать решение задач, которые возникли при управлении сложными системами различной

природы. Одной из характерных черт этой деятельности является прогнозирование

последствий принятия управляющих решений. Как выяснилось, решение прогнозных

задач в большинстве случаев базируется на использовании математических моделей. В

этом случае мы видим изменение целей математики: если ранее целью использования

математических моделей было описание физических явлений, то теперь целью

математического моделирования стала прогнозирование последствий принятия тех или

иных решений.

Математическое моделирование характеризуется тем, что процесс его проведения

часто требует выполнения больших количеств вычисления. Проведения такого количества

вычислений стало возможным только благодаря появлению и использованию

компьютеров. Решения математических задач с помощью компьютеров потребовало

средств «перевода» этих задач с математического языка на язык компьютеров. Так

появилось программирование и вместе с ним и новый тип математики – компьютерная

математика.

Изменение целей математического моделирования потребовало и изменения

методологии математики, а в какой-то мере и сути существовавшей до сих пор

математики. Другими словами, возникла новая математика, отличная как от греческой

математики, так и от европейской математики. Эту математику будем условно называть

мировой математикой. Сразу отметим, что как европейская математика, так и греческая

математика продолжали существовать, но с точки зрения широкой общественности они

отошли на второй план. Если греческая математика была, как часть греческой философии,

обращена к духовности, к интеллекту человека, европейская математика, как язык

европейской физики, была обращена к технологии, то мировая математика, как средство

для обоснования решений, обращена к управлению, т.е. к самому человеческому обществу.

На эти три математики можно посмотреть и с другой стороны. Если греческая математика

была обращена к человеку, европейская математика – к природе, то мировая математика –

ко всей человеческой цивилизации в целом.

Человеческая цивилизация могла, в общем случае, обойтись без греческой математики,

о чем свидетельствует развитие человечества в средние века. Но уже возникновение и

развитие европейской математики оказали значительное влияние на человеческую

цивилизацию, дав возможность осуществить технологический прогресс человечества,

став тем самым необходимой частью этого прогресса. Возникновение и развитие мировой

науки и компьютерной математики позволило и позволяет человечеству избежать ряда

социальных, экономических и технических катастроф, став необходимыми составляющими частями экономического и социального прогресса человеческого

общества.

Каждый из выделенных выше трех периодов развития математики, таким образом,

характеризуется разными глобальными целями проведения математических исследований,

принципиальными различиями в методологии, а также появлением новых математических

средств и изменением математического языка. Эти различия свидетельствуют о том, что в

результате каждой из интеллектуальных революций возникают новые типы математики.

Таким образом, любой исторический очерк развития математической методологии, наряду

с историческими фактами, должен содержать описание отличительных и характерных

черт каждого из типов математики в отдельности.

Для того чтобы описать различия между различными типами математики, необходим

специфический язык, который бы позволил сравнить между собой эти типы

математической методологии, выделив их общие черты. Этот язык не может быть

математическим языком, ибо в этом случае он будет принадлежать к одному из типов

математик и поэтому не может служить для сравнения между разными типами. По своему

назначению этот язык должен принадлежать области знаний, которая лежит вне

математики и описывает свойства, присущие науке. Такой областью знаний является

теория познания, которая является одним из разделов философии.

Дата добавления: 2014-01-15