Производная неявной функции

Определение: Функция называется неявной, если она задается уравнением неразрешимым относительно z.

Начнем рассмотрение с неявной функции одного переменного: F(x,y)=0.

Теорема:

Пусть непрерывная функция y(x) задается неявно уравнением вида F(x,y)=0 и , , - непрерывные функции в области D, содержащей точку (x,y), удовлетворяющую уравнению F(x,y)=0. Кроме того, в этой точке , тогда функция y(x) имеет производную .

Доказательство:

Пусть некоторому значению x соответствует значение y, причем выполняется F(x,y)=0. Возьмем для независимой переменной x приращение . Функция y, при этом, получит приращение . То есть значению аргумента будет соответствовать значение функции . А в силу уравнения F(x,y)=0 имеем: и, соответственно . Левую, часть, являющуюся полным приращением функции двух переменных можно представить в виде , где , , при и . Или иначе (поскольку правая часть равенства - ноль): . Разделим последнее равенство на и вычислим . Устремим к нулю. Тогда учитывая, что , , при и в пределе получим . Таким образом доказана теорема существования производной от функции, заданной неявно.

Пример:

Решение:

Найдем производную.

, .

Следовательно

Рассмотрим теперь функцию вида. Найдем частные производные функции неявной функции z. Для этого подставив в уравнение вместо z, , получим тождество . Частные производные функции тождественно равной нулю также равны нулю.

Откуда: , .

Аналогично определяются производные неявно заданных функций произвольного числа переменных.

Пример:

Решение:

Так как

Þ

Найдем частные производные:

; ;

Следовательно:

;

Пример:

Решение:

Найдем частные производные:

; ;

Следовательно:

;

Задачи для самостоятельного решения:

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется неявной функцией нескольких переменных?

2. Как отыскать частные производные функции двух переменных?

Дата добавления: 2014-01-15