Частные производные высших порядков

Лекция № 25

по теме:

«Частные производные высших порядков. Теорема о независимости от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функции двух переменных.»

Волгодонск

Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y Þ их тоже можно продифференцировать.

Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , ,

Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.

Теорема:

Если функция непрерывна вместе с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой.

Доказательство:

Рассмотрим выражение:

Если ввести вспомогательную функцию: , то можно A представить в виде: . Поскольку определена в окрестности точки (x,y), следовательно, дифференцируема на отрезке . Тогда применяя теорему Лагранжа, получим: , где . Но . Поскольку определена в окрестности точки (x,y), то дифференцируема на отрезке . Применяя к разности теорему Лагранжа имеем: , где . Следовательно первоначальное выражение имеет вид: .

Переставим слагаемые в первоначальном выражении: и проведем аналогичные рассуждения. В результате получим: , откуда следует . Переходя в этом равенстве к пределу и учитывая, что производные непрерывны в точке, окончательно получаем: .

Аналогичная теорема имеет место для функций большего числа переменных. Кроме того, данная теорема справедлива для производных порядка выше чем два.

Пример:

Найти все частные производные до 3 порядка включительно функции:

Решение:

Дата добавления: 2014-01-15