Вавилонская математика

Математика Стародавнього Вавилону.

Математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной, хотя неизвестно, каким образом были получены эти рецепты. Их математическая система была позиционной, но шестидесятеричной Они не использовали нуль. Допускались более общие, хотя и не все, дроби. Они умели извлекать квадратные корни Они умели решать линейные системы. Они умели работать с пифагоровыми тройками. Они решали кубические уравнения с помощью таблиц. Они изучали измерения, связанные с окружностями. Их геометрия была не всегда правильной.

В области математики вавилонская наука достигла сравнительно высокого развития; здесь вавилонская наука может быть сравнена только с греческой. В вавилонской математике уже осуществлен тот принцип, что одна и та же цифра имеет различную числовую значимость в зависимости от места, занимаемого ею в числовом комплексе. Вавилонская числовая система явилась предтечей арабской. Разница заключалась в том, что в Вавилонии вместо десятичной системы была шести десятиричная. Она продолжает жить и в наше время как наследие Вавилона. Это доказывается делением часа на 60 минут, минуты на 60 секунд и делением окружности на 360 градусов.

Изучение вавилонской математики показывает, что вавилонские писцы знали знаменитую пифагорову теорему и другие теоремы планиметрии и стереометрии. Вавилонские математики положили начало и алгебре. Установлено, что они умели извлекать не только квадратные, но и кубические корни.

Очень возможно, однако, что если в Вавилоне мы имеем такое приближенное исчисление, то это не доказывает, что вавилонские математики не знали более точного значения, а просто для практических целей им не надо было более точного измерения.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.^[1]

Вавилонская табличка с вычислением

= 1.41421296...

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т.д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.

Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была.

Вавилонские 60-ричные цифры

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:

4,2,10; 46,52

Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц, отдельно для умножения на 1-20, 30…50. Деление m/n они заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n у них были специальные таблицы. Другие таблицы помогали возводить в степень, извлекать корни и даже находить показатель степени n, если дано число вида 2 ⁿ (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту)^[2]. Без многопудовой библиотеки таблиц никакие расчёты в Вавилоне были невозможны.

Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле метода Ньютона^[3]:

a_{n + 1} = (a_n + N / a_n) / 2

В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают π = 3; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, т.е. π² R ² / 3. Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте:.

Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.

Дата добавления: 2014-01-15