Нормального распределения

Гипотез о числовых значениях параметров

Статистические гипотезы. Проверка

При применении выводов и рассуждений, полученных с помощью теории вероятностей и математической статистики, используют принцип практической уверенности: если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет (на практике считают А – невозможным). Если же произведено много испытаний, в каждом из которых вероятность события А даже очень мала, то существенно повышается вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз в массе испытаний:

(Р (А)=, Р (В)= Р (nA)=1-(1-)ⁿ 1-(1-n)=n).

Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события А решается в зависимости от вида , в конкретных задачах, где =0,05 не учитывают, а есть задачи, где =0,001.

С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется, когда необходим обоснованный вывод о каких-то преимуществах: измерений стрельбы, способа инвестиций, доходности ценных бумаг, технологического кризиса и т.д.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения (для параметров закон может быть известен). Гипотеза, которая полностью определяет теоретическую функцию распределения случайной величины называется простой, в противном случае – сложной.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н ₀. Затем вырабатывают (рассматривают) альтернативную, или конкурирующую, гипотезу Н ₁, отрицающую или исключающую основную гипотезу Н ₀. Гипотезу проверяют на основании выборки из генеральной совокупности, при этом возникают естественные ошибки. Ошибкой первого рода считают ту, когда отвергается правильная гипотеза Н ₀, и ошибкой второго рода, когда принимается неправильная гипотеза Н ₁. Решение о правильности принимается по значению некоторой функции выборки, называемой статистикой или статистической характеристикой. Множество значений статистики состоит из двух подмножеств: где гипотеза Н ₀ принимается (допустимая область), и где отклоняется Н ₀ и принимается Н ₁ (критическая область). При поверки гипотез необходимо уменьшить вероятности принятия неправильных решений. Допустимая вероятность ошибки первого рода обозначается и называется уровневой значимостью (– обычно мало). Как правило, уменьшение ошибок первого рода влечет увеличение вероятности ошибок второго рода . Поэтому статистику выбирают так, чтобы и были минимальными. Для определения критической области статистики используют уровень значимости и учитывают вид альтернативной гипотезы Н ₁. Основная гипотеза Н ₀ о значении неизвестного параметра распределения записывается так Н ₀: . Альтернативная гипотеза может иметь при этом вид Н ₁: , Н ₁: , Н₁: . Соответственно получаем критическую область. Граничные точки критических областей определяются по таблицам распределения статистики (если Н ₀ – простая, то распределение статистики при правильной Н ₀ известно).

Проверка статистических гипотез состоит из этапов:

1. определение гипотез Н ₀ и Н ₁;

2. выбор статистики и задание уровня значимости ;

3. определение по таблице и Н₁ критической области;

4. вычисление по выборке значения статистики;

5. сравнение значения статистики с критической областью;

6. принятие решения: если значение статистики не входит в критическую область, то принимается гипотеза Н ₀ и отвергается Н ₁, а если входит в критическую область, то отвергается Н ₀ и принимается Н₁. Такой критерий проверки называется параметрическим (известны законы распределения генеральных совокупностей, если не известны, то непараметрический).

Типы статистических гипотез:

1. о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

2. о числовых значениях параметров;

3. о законе распределения;

Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах. Пусть х _i – значения какого-то параметра изделий автоматической линии, а задание номинального значения параметра х _i отклоняется от а. Чтобы проверить правильность работы проверяют гипотезу Н ₀: против альтернативной Н ₁: или Н ₁: или Н ₁: .

Дата добавления: 2014-01-15