Полнота характеристик

Пусть оператор преобразования входного воздействия в

выходную переменную представлен в форме дифференциального уравнения n -го порядка

или передаточной функции

.

Рассмотрим дифференциальное уравнение для реакции системы на воздействие при нулевых начальных условиях. При , где p_i – корень характеристического полинома , коэффициент при экспоненте равен нулю при любом воздействии. По реакциям такой системы нельзя полностью выявить ее собственные свойства: в них будет отсутствовать составляющая, соответствующая корню p_i. В этом случае говорят, что система по рассматриваемой паре вход-выход является неполной.

Отсюда следует, что временные характеристики – реакции системы на воздействия при нулевых начальных условиях по неполной паре «вход-выход» – не отражают полностью собственных свойств системы: операторные полиномы A и B дифференциального уравнения неполной системы имеют нетривиальный общий делитель , а передаточная функция системы имеет диполь p_i. Другими словами, если полиномы A и B не являются взаимно простыми, то передаточная функция – вырожденная.

Годографы вырожденных передаточных функций , построенные при изменении аргумента p вдоль некоторого контура C на комплексной плоскости (например, вдоль мнимой оси , ω ³ 0) отражают только полную часть системы.

Потеря собственных свойств особенно существенна, если p_i – правый корень. В этом случае сокращение полиномов недопустимо: при ненулевых начальных условиях, вызванных, например, воздействиями, приложенными к другим входам системы, появляются свободные движения и при они будут содержать составляющую .

Наличие общих делителей в полиномах числителя и знаменателя по выбранной паре «вход-выход» можно выявить несколькими способами:

– непосредственным вычислением и сопоставлением корней полиномов A и B (наилучший способ, здесь также выявляются и приближенные диполи передаточных функций);

– выявлением наибольшего общего делителя полиномов путем деления их по алгоритму Евклида;

– исследованием результанта полиномов – специального определителя прядка m ´ n, построенного из коэффициентов полиномов A и B. Полиномы имеют, по меньшей мере, один общий корень, если их результант равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-15