Операции над последовательностями

Примеры

Определение

Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Содержание · 1 Определение · 2 Примеры · 3 Операции над последовательностями · 4 Подпоследовательности o 4.1 Примеры o 4.2 Свойства · 5 Предельная точка последовательности · 6 Предел последовательности · 7 Некоторые виды последовательностей o 7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности § 7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности § 7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей o 7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности § 7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей o 7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности § 7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей o 7.4 Монотонные последовательности o 7.5 Фундаментальные последовательности

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел, либо множество комплексных чисел. Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

· Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид.

· Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид.

· Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида. В частности, пятым членом x ₅ этой последовательности является слово «май».

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f:   Тогда для элементов,, …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:  

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что.

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность. Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Дата добавления: 2014-01-15