Ступенчатая функция

Функция знака

Функция с устранимым разрывом

Элементарные функции

Примеры

Глобальные

Локальные

Свойства

· Функция, непрерывная в точке, является ограниченной в некоторой 043Eкрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или), то (или) для всех, достаточно близких к.

· Если функции и непрерывны в точке, то функции и тоже непрерывны в точке.

· Если функции и непрерывны в точке и при этом, то функция тоже непрерывна в точке.

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке, то их композиция непрерывна в точке.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции, непрерывной на отрезке, является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку.

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой.

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой.

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и.

· Если функции и непрерывны на отрезке, причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке.

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Дата добавления: 2014-01-15