Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства

Определение 1. Пусть A =(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С =(с_ij) размера m×n над полем P, где с_ij= a_ij, j=, i=, и обозначается С=А.

Определение 2. Пусть A =(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, B =(b_ij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С =(с_ij) размера m×k над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i- й строки матрицы А на j -й столбец матрицы B, т.е. с_ij=A_iB^j =(a_i1 ... a_in)⋅= a_i1b_1j+^…+a_inb_nj =, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.

Лемма 1. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение(АВ) С,то существует и произведение А (ВС),причем (АВ) С=А (ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ) С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А (ВС).

Покажем, что (AB) C=A (BC). Пусть (АВ) С= (x_ij), А (ВС) = (y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A =(a_ip), B =(b_ps), С =(с_sj), АВ=R= (r_is), BC=T= (t_pj), s=, p=. Тогда

x_ij=R_iC^j= ===,

y_ij=A_iT^j ====.

Таким образом, x_ij=y_ij, i=, j=. Следовательно, (AB) C=A (BC). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда(А+В) С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В) С= (x_ij), АС+ВС= (y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A =(a_is), B =(b_is), С =(с_sj), i=, s=, j=. Тогда

x_ij= (A+B) _iС^j= === A_iC^j+B_iC^j = y_ij.

Следовательно, (А+В) С=АС+ВС. Лемма доказана.

Определение 3. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i -й строки на i -й столбец, i= . Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается ^tA.

Пример 1. Если A =, то ^tА =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то ^tА - матрица размера n×m.

Лемма 3. Если произведение AB существует, то существует произведение ^tB ^tA, причем ^t (AB) = ^tB ^tA.

Лемма 4. Если А – матрица размера m × n над полем Р, то АЕ_n=E_nA=A.

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Через M_n(P) обозначается множество всех квадратных матриц n -го порядка над полем P.

Замечание. Из свойств операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно (см. примеры на практических занятиях).

Лемма 5. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB= ( A) B=A (B).

Дата добавления: 2014-01-15