Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Алгоритм решения задачи о максимальном потоке




Разрез на сети

Представим некоторую сеть. Разобьем множество вершин сети на два непересекающихся подмножества A и B так, чтобы исток I попал в подмножество A, а сток S попал в подмножество B. В результате такого разбиения появляются ребра (i, j), конечные точки которых оказываются в разных подмножествах.

Совокупность ребер (i, j), начальные точки которых принадлежат подмножеству A, а конечные точки – подмножеству B, называют разрезом сети и обозначают A/B.

На рис. 1.9 изображена некоторая сеть. Стрелки указывают положительное направление потока. На сети произведено два разреза: I и II. При разрезе I образовалось два подмножества вершин сети: подмножество A = {1, 2} и B = {3, 4, 5}, а ребрами, образующим разрез, стали (1, 3), (1, 4), (2, 4). При разрезе II образовались подмножества A = {1, 2, 3, 4} и B = {5} с образующими разрез ребрами (3, 5) и (4, 5).

 

Рис. 1.9

 

Величина, представляющая сумму пропускных способностей всех ребер разреза, называется пропускной способностью разреза.

Если на сети задан поток X = {xBijB} и разрез (A/B), то величина, представляющая сумму потоков по всем ребрам разреза, называется потоком через разрез.

Для разреза I R(I) = rB13B + rB14 B+ rB24B = 6 + 2 + 1 = 9. X(I) = xB13B + xB14B + xB24B = 4 + 2 + 0 = 6. Для разреза II – R(II) = 9, X(II) = 6.

В общем случае, если на сети задан поток X = {xij} и произведен разрез (A/B), то хотя бы одно ребро любого полного пути, идущего из истока в сток, будет обязательно принадлежать разрезу (A/B). Напомним, что величина потока по любому полному пути не превышает пропускную способность каждого его ребра, а потому величина X суммарного потока, стремящегося из истока в сток, не может повысить пропускную способность любого разреза сети, т.е.

(1.5)

В теории потоков утверждается, что если удастся построить на сети поток XP* P= {xBijPB*P}, величина которого равна пропускной способности некоторого разреза (A/B), то этот поток будет максимальным, а разрез обладать минимальной пропускной способностью. Ниже приводится теорема о максимальном потоке, имеющая большое прикладное значение.

Теорема Форда - Фалкерсона. На любой сети сети максимльная величина потока из истока I в исток S равна максимальной пропускной способности разреза, отделяющего I от S.

 

В разделе 4 был проведен расчет мощности потока, но ничего не было сказано о том, будет ли этот поток максимальным. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо исследовать этот поток.

Пусть задан некоторый поток X = {xij}. Разобьем сеть таким образом, чтобы к подмножеству A отошли исток I и все те вершины i, которые достигаются из истока I хотя бы по одному пути, состоящему из ненасыщенных ребер; к подмножеству B отнесем вершины, которые нельзя достичь из истока по ненасыщенным ребрам. При таком разбиении возникают две ситуации:

1) сток;

2) сток.

Рассмотрим случай 1. Если, то

Построенное разбиение является разрезом A/B. По условию разбиения для любой вершины существует путь из истока в i, состоящий из ненасыщенных ребер, а для любой вершины такого пути нет. Отсюда следует, что любое ребро (i,j) разреза A/B будет насыщенным (иначе j принадлежало бы A), т.е. xij = rij. Просуммируем все эти равенства по всем и всем и получим

(1.6)

В этом равенстве слева – величина X потока через разрез, справа – пропускная способность R разреза A/B. Из равенства (1.6) по теореме Форда - Фалкерсона следует, что поток X = {xij} является максимальным.

Рассмотрим случай 2. Если то существует путь из ненасыщенных ребер, ведущий из истока в сток. По ребрам этого пути можно пропустить дополнительный поток величиной, где минимум берется по всем ребрам, входящими в этот путь. Потоки xBijB по всем остальным ребрам остаются без изменения. В результате мощность суммарного потока возрастет на величину и это будет новый поток X = {xBijPB1P}.

При объединении двух рассмотренных случаев просматривается следующий алгоритм построения максимального потока:

1. Построить некоторый начальный поток XP0P = {xBijPB0P}.

2. Найти подмножество A вершин, достижимых из истока I по ненасыщенным ребрам. Если в этом процессе сток S не попадет в подмножество A, то построенный поток максимальный и задача решена. Если же сток S попал в A, то перейти к п. 3 алгоритма.

3. Выделить путь из истока I в сток S, состоящий из ненасыщенных ребер, и увеличить поток xBij Bпо каждому ребру этого пути на величину, где минимум берется по ребрам (i,j) упомянутого пути. Это означает, что будет построен новый поток XP1P = {xBijPB1P}. После этого надо вернуться к п. 2 данного алгоритма.

Замечание: при выполнении п. 3 алгоритма на каждом шаге по крайней мере одно из ненасыщенных раннее ребер становится насыщенным. Поскольку число ребер в сети конечно, то через конечное число шагов максимальный поток будет построен.

Разберем на примере предложенный алгоритм.

 

 

Рис. 1.10

 

На рис. 1.10 изображена сеть с истоком I в вершине (1) и стоком в вершине (6). В скобках проставлена пропускная способность ребер в прямом и обратном направлении. В табл. 1.2 показана матрица пропускных способностей сети.

В соответствии с п. 1 алгоритма сформируем на сети первоначальный поток XP0P. В этом потоке по пути 1 – 3 – 5 – 6 перемещаются 2 ед., поскольку ограничивает величину потока ребро (3, 5); по пути 1 – 2 – 5 – 6 перемещается 1 ед., лимитирующим является ребро (2, 5); по пути 1 – 4 – 6 – 2 – 2 ед., и ребро (1, 4) становится насыщенным. Матрица потока представлена на табл. 1.3.

Мощность потока XP0 рассчитаем по формуле (1.4).

f = xB12B + xB13 B+ xB14B = xB46B + xB56B = 1 + 2 + 2 = 2 + 3 = 5.

 

Таблица 1.2

i/j            
             
             
             
             
             
             

 

Таблица 1.3

i/j            
             
  -1          
  -2          
  -2          
    -1 -2      
        -2 -3  

 

 

Для выполнения п. 2 алгоритма рассчитаем матрицу R – XP0P, приведенную в табл. 1.4. Элементы (rij – xij0) этой матрицы позволяют судить о насыщенности ребер сети. Нулевые элементы соответствуют насыщенным ребрам, ненулевые – ненасыщенным. С помощью матрицы R – XP0P можно сформировать подмножество A вершин, в которое можно попасть из истока I, двигаясь только по ненасыщенным путям, выделить их (если поток XP0 P не максимален) и с их помощью увеличить мощность потока.

 

Таблица 1.4

i/j            
             
  -3          
  -2          
  -2 -2        
    -1 -2      
        -4 -3  

 

Таблица 1.5

i/j            
             
             
             
             
             
             

 

 

Вершины подмножества A выделяют постепенно, начиная с истока I. Для этого просматривают первую строку матрицы R – XP0 P(в общем случае строку I) и выписывают номера вершин iB1B, iB2B, …, iBkB, соответствующих ненулевым элементам стоки. Это и будут вершины, в которые можно попасть из истока, перемещаясь по ненасыщенным ребрам. Запишем выявленные вершины в виде списка

Далее рассматривают каждую из вершин iBk полученного списка и составляют для нее свой список аналогичным образом. При этом вершины, встречающиеся в прежних списках, повторно не выписываются.

Если в этом процессе сток S не встретится, то поток максимален и задача решена; если же, напротив, при составлении очередного списка в нем появится сток S, то поток не максимален и его мощность можно увеличить. Для этого выделяют ненасыщенный путь из истока в сток. Построение ненасыщенного пути из I в S начинают с последнего ребра этого пути. Этим ребром будет (i Bn-1B, S), где i Bn-1 B– вершина, в список которой попал сток S. Далее находят ребро (i Bn-2B, i Bn-1B), где i Bn-2B - вершина, в список которой попала вершина i Bn-1B, и т.д., пока не встретится ребро (I, iB1B), которым начинается искомый ненасыщенный путь.

В данном примере I = 1, S = 6. Построим подмножество A, начиная с вершины. В табл. 1.4 в первой строке ненулевые элементы стоят во втором и третьем столбцах. Следовательно, запишем.

Последовательно составляем списки вершин 2 и 3. Во второй строке матрицы три элемента отличны от нуля: 4, 8, 4. Цифры 4 и 8 соответствуют вершинам 7 и 3, которые уже вошли в подмножество A, поэтому эти вершины повторно в списки не включаем. В четвертом столбце цифра 4 встречается впервые, поэтому включаем ее в список вершины. Переходим к вершине 3. В третьей строке матрицы R – XP0 ненулевым элементам соответствуют вершины 1 и 2, которые уже встречались в списках. Значит, список вершины 3 будет пустым: … Аналогичным образом составляется список вершины. Повторим полученный набор списков:

(1.7)

Просматривая списки, замечаем что сток (вершина 6) попал в подмножество A. Значит поток XP0 не максимален и существует путь из истока в сток, состоящий из ненасыщенных ребер.

Перейдем к п. 3 алгоритма – выделению ненасыщенных ребер пути из истока в сток и преобразованию имеющегося потока в новый поток большей мощности. В списке (1.7) последним ребром (i n-1, S) является (4, 6), ребром (i Bn-2B, i Bn-1B) – ребро (2, 4), ребром (I, iB1B) – ребро (1, 2). Найденный путь по ненасыщенным ребрам из истока 1 в сток 6 пройдет через вершины 1, 2, 4 и 6.

Поскольку ненасыщенный путь найден, то следующим шагом является определение с помощью матрицы R – XP0 величины, на которую можно увеличить поток по каждому ребру (i, j) выделенного пути, чтобы получить новый поток X1 мощности, большей на единиц. Как видно из табл. 1.4., по ребру (1, 2) можно дополнительно пропустить 6 ед., по ребру (2, 4) – 4 ед., по ребру (4, 6) – только 2 ед., так что

Для построения матрицы нового потока X1 к соответствующим элементам xij0 матрицы XP0 прибавляется найденное значение, после чего возвращаются к п. 2 алгоритма, и т.д. до получения максимального потока.

Прибавим величину к элементам x120 = 1, x240 = 0 и x460 = 2, обозначающим ненасыщенный путь (по всем остальным ребрам величина потока не изменится). Приходим к матрице нового потока X1 (см. табл. 1.5), мощность которого равна 7 ед. Этот поток вновь надо исследовать на оптимальность, т. е. вернуться к п. 2 алгоритма. Вновь составляем матрицу R – X1 (см. табл. 1.5), а по ней – списки вершин, достижимых из истока I по ненасыщенным путям:

 

 

Из этих списков видно, что сток 6 снова в подмножестве A, а путь, ведущий в него, состоит из ненасыщенных ребер (1, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 6). Новый поток X2, (его матрица представлена в табл. 1.6, получается преобразованием потока X1, если увеличить на потоки по указанным ребрам найденного ненасыщенного пути. Мощность нового потока X2 составляет 9 ед. Для исследования этого потока составляется матрица R – X2 (табл. 1.8), а по ней – списки.

(1.8)

Таблица 1.6

i/j            
             
  -5          
  -2          
  -2 -4        
    -1 -2 -2    
        -4 -5  

 

Таблица 1.7

i/j            
             
             
             
             
             
             

 

 

По спискам (1.8) видно, что сток 6 не попал в подмножество A вершин, достижимых из истока по ненасыщенным ребрам. Значит поток X2 максимален. Нанесем его на сеть с указанием направления потоков по отдельным ребрам (см. рис. 1.11).

 

Таблица 1.8

 

i/j            
             
             
             
             
             
             

 

 

Рис. 1.11

Можно было бы и не строить матрицу R – X2, если своевременно заметить, что потоки по ребрам (4, 6) и (5, 6) равны их пропускным способностям, т.е эти ребра насыщены (см. табл. 1.7 и 1.8).

Используя списки (табл. 1.8) выделим подмножества A и B, на которые оказалось разбитым множество всех вершин: A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}. Теперь можно выписать ребра, образующие разрез A / B минимальной пропускной способности: (1, 4), (2, 4), (2, 5), (3, 5).

 


 

РАЗДЕЛ 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 979; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.