Решение. 1. Проанализируем платёжную матрицу A

1. Проанализируем платёжную матрицу A.

Матрица A не имеет доминируемых стратегий и не может быть упрощена.

2. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку.

Найдём нижнюю и верхнюю цену игры:

V_*=max_i min_j a_ij = 3.

V^*=min_j max_ia_ij = 4.

Поскольку V_* ≠V^*, то данная антагонистическая игра не имеет седловой точки и решения в чистых стратегиях.

Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведём рассматриваемый антагонистический конфликт к прямой и двойственной задаче линейного программирования.

Если первый игрок – предприятие – применяет свою оптимальную смешанную стратегию P^*, а второй игрок – природа – применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который предприятие может получить, будет не меньше цены игры V.

И наоборот, если второй игрок – природа – будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q^*, а первый игрок – предприятие будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока будет не больше цены игры. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Задача второго игрока минимизация проигрыша V	Задача первого игрока максимизация выигрыша V
Целевая функция
F^/ = x1+x2+x3+x4 = → max	F = y1+y2+y3+y4 = → min
Функциональные ограничения
Прямые ограничения
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0	y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0

Применяя симплекс-метод для решения задачи первого игрока, получим:

Y^*= (y₁^* = 0,182; y₂^* = 0; y₃^* = 0; y₄^* =0,091)

F= y₁^*+ y₂^*+ y₃^*+y₄^*= 0,273

Из соотношения y₁^*+ y₂^*+ y₃^*+y₄^*=1/V найдём V:

Из соотношений:

Найдём:

p*₁ = y*₁V = 0,67, p*₂ = y*₂V = 0, p*₃ = y*₃V = 0, p*₄ = y*₄V =0,33

Окончательно имеем:

Р^* = (р^*₁ =0,67; р^*₂ = 0; р^*₃ = 0; р^*₄ = 0,33), V = 3.67

На основании решения, найденного для двойственной задачи линейного программирования, найдём решение исходной задачи - задачи второго игрока:

X^*= (x₁^* = 0,121; x₂^* =0,121; x₃^* = 0,03; x₄^* = 0)

F^/ = x₁^*+ x₂^*+ x₃^*+x₄^*= 0,273

Из соотношения x₁^*+ x₂^*+ x₃^*+x₄^* = 1/V найдём V:

Из соотношений:

Найдём:

q*₁ = x*₁V = 0,445, q*₂ = x*₂V = 0,444, q*₃ = x*₃V = 0,111, q*₄ = x*₄V = 0.

Окончательно имеем:

Q^*= (q^*₁= 0,445; q^*₂=0,444; q^*₃= 0,111; q^*₄= 0), V = 3.67

Задача принятия решений в условиях неопределенности

Предположим, что ЛПР (лицо, принимающее решения) рассматривает несколько возможных решений: i = 1,…,m. Ситуация, в которой действует ЛПР, является неопределенной. Известно лишь, что наличествует какой-то из вариантов: j = 1,…, n. Если будет принято i-e решение, а ситуация есть j-я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход q_ij. Матрица Q = (q_ij) называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i-e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j-я, то было бы принято решение, дающее доход q_ij.

Значит, принимая -e решение мы рискуем получить не q_j, а только q_ij, значит принятие i-го решения несет риск недобрать r_ij = q_j - q_ij. Матрица R = (r_ij) называется матрицей рисков.

Пример 1. Пусть матрица последствий есть

Составим матрицу рисков. Имеем q₁ = max(q_i1) = 8, q₂ = 5, q₃ = 8, q₄ = 12.. Следовательно, матрица рисков есть

Дата добавления: 2014-01-15