Найти минимальное значение линейной функции

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования, система ограничений которой задана в виде неравенств.

Z = С₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N (1.5)

при ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_1NХ_N b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2NХ_N b₂

........................... (1.6)

a_M1x₁ + a_M2x₂ +... + a_MNХ_N b_M

x_j (j = 1, 2,...,n) (1.7)

Совокупность чисел х₁, х₂,..., х_N, удовлетворяющих ограничениям (1.6) и (1.7), называется решением. Если система неравенств (1.6) при условии (1.7) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае - несовместной.

Это все равно, что в системе (1.6) - (1.7) положить N=2. Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i,(i = 1, 2,..., m). Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы.

Совокупность этих точек (решений) назовем многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.

Если в системе ограничений (1.6) - (1.7) n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ = b_i,(i = 1, 2,..., n), а условия неотрицательности – полупространства с граничными плоскостями соответственно х_j = 0 (j = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений. Многогранник решений может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, многогранником, многогранной неограниченной областью. Пусть в системе ограничений (1.6) - (1.7) n 3; тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_iNx_N = b_i (i = 1, 2,..., m), а условия неотрицательности – полупространства с граничными гиперплоскостями х_j = 0 (j = 1, 2,..., n).

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

Дата добавления: 2014-01-15