Понятие о статистических играх

Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях.

Тема 2. Простейшие методы решения задач теории игр.

Запись матричной игры в виде платёжной матрицы.

В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей (рис. 1.1.),

	B1	B2	…	Bn
A1	A11	A12	...	A1n
A2	A21	A22	...	A2n
…	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

Рис. 1.1. Общий вид платёжной матрицы матричной игры

где A_i – названия стратегий игрока 1, B_j – названия стратегий игрока 2, a _ij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

V_н = max_i min_j a _ij,

или найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина V_н называется максимином матрицы или нижней ценой игры.

Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

V_в = min_j max_i a _ij

Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина V_в называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.

В случае, если значения V_н и V_в не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a _ij) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве V_н = V_в = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V - оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры.

Например, в матрице (рис. 1.2)

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1
A2
A3
Maxi

Рис. 1.2. Платёжная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.

В матрице (рис. 1.3)

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1
A2
A3
Maxi

Рис. 1.3. Платёжная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях

решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A1 и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B4 и её значение равно 3.

Принятие управленческих решений предполагает наличие ситуаций выбора наиболее выгодного варианта поведения из нескольких имеющихся вариантов в условиях неопределённости. Такие задачи могут быть описаны матричными играми особого типа, в которых игрок взаимодействует не со вторым игроком, а с окружающей средой. Объективно окружающая среда не заинтересована в проигрыше игрока. В процессе принятия решения о выборе варианта поведения игрок имеет информацию о том, что окружающая среда может принять одно из нескольких возможных состояний и сталкивается с неопределённостью относительно того конкретного состояния, которое примет окружающая среда в данный момент времени.

Матричная игра, в которой игрок взаимодействует с окружающей средой, не заинтересованной в его проигрыше, и решает задачу определения наиболее выгодного варианта поведения с учётом неопределённости состояния окружающей среды, называется статистической игрой или «игрой с природой». Игрок в этой игре называется лицом, принимающим решение (ЛПР).

В общем виде платёжная матрица статистической игры приведена на рисунке 3.1

	S1	S2	…	Sn
A1	A11	A12	...	A1n
A2	A21	A22	...	A2n
…	...	...	...	...
An	am1	am2	...	amn

Рис. 3.1. Общий вид платёжной матрицы статистической игры

В данной игре строки матрицы (A_i) - стратегии ЛПР, а столбцы матрицы (S_j) – состояния окружающей среды.

Дата добавления: 2014-01-15