Метод наименьших квадратов. Технология регрессионного анализа

Технология регрессионного анализа.

Метод наименьших квадратов (МНК) используется для представления.в виде формулы данных, заданных таблично.

Таблица 1

x	x	x	...	x
f(x)	y	y	...	y

Приближение по МНК формулируется следующим образом:

Для функции f(x), заданной табл. 1, найти приближающую функцию F(x) так, чтобы сумма квадратов

= min,

где f и F- значения функции f(x) и приближающей функции F(x) при одних и тех же значениях х.

Разность функций берётся в квадрате, чтобы её знак был всегда положительным.

f(x),

F(x) f(x) F(x)

х

Рис. 1 Точки функции f(x) из таблицы и приближающая функция F(x)

В качестве приближающих функций F(x) в зависимости от характера точечного графика (рис.1.) используются следующие основные функции:

1. F(x) = ах+b, 2. F(x) = ax+bx+c, 3. F(x) = + b,

параметры а, b параметры a, b, c, m параметры а, b

4. F(x) = a e, 5. F(x) = a lnx + b

параметры a, m параметры а, b

и другие функции.

a

Для приближающей функции с 2-мя параметрами F(x,a,b) сумма квадратов разностей f(x) и F(x) имеет вид:

Ф(a,b),

условие минимума примет вид системы уравнений частных производных по параметрам a, b:

;

(4) ;

то есть

(5)

Коэффициент 2 не равен 0, поэтому его можно убрать из системы уравнений (5).

Пример. Определить зависимость F=F(Х) для данных, заданных таблицей 2:

Таблица 2

Х, шт.
F, $			8,67			5,33	4,86	4,5	4,22

Точечный график,построенный по табл. 2, показывает, что приближающей функцией для него является зависимость под номером №3:

F(x) = + b C

Нужно определить параметры a и b.

q

Согласно (5)

или

(22 -- b)+ (12 - - b) +(8,67 -- b) +...

+(4,22 --b) =0;

(22 -- b) 1 + (12 - - b) 1+(8,67 -- b) 1+...

+(4,22 - -b) 1=0

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. После раскрытия скобок, преобразований и решения этой системы уравнений получим, что коэффициент а = 100, коэффициент b = 2

т.е. F(X) = + 2,

т.е. таблицу 2 можно заменить этим уравнением.

Полученное уравнение является уравнением регрессии или линией тренда, которая показывает тенденцию изменения функции

Дата добавления: 2014-01-15