Непрерывные ф-ции. Непрерывность

Б/м ф-ции и их сравнения

Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.

2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если a(х)/b(х)®1, то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.

4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).

Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.

Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)- непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через Dу приращение ф-ции, т.е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” - символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента.

f(x) непрерывна в т-ке х0 <º> Dy®0 при Dх®0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(x®x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0.

Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $ и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва

Классификация точки разрыва

Непрерывные функции на промежутке

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА

Дата добавления: 2014-01-15