КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
В области D
Значения подинтегральной функции в области D. То,где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее
7).Если f (х,у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка ), что Величину называют средним значением функции f (х,у) 1.2.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов и осуществляется справа налево.
РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. Различают два основных вида области интегрирования. 1). Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x=x1 и x=x2 (x2>x1) и снизу и сверху непрерывными кривыми Y= φ1(x) e Y= φ2(x) [ φ2(x) > φ1(x)] ,каждая из которых пересекается x=X (x1<X<x2) только в одной точке (рис.2). Y y= φ 2(x) y2 B D · C D x= ψ2(y) S x= ψ1(y ) S · A у=φ1(x) B y1 A C X X O x1 x2 O Рис.2 Рис.3
Итак,имеем область D={(x,y): x1<X<x2, Y1 <Y< Y2}, вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле , если Y1= φ1(x) и Y2= φ2(x). 2). Область интегрирования снизу и сверху ограничена прямыми y=y1 e y=y2 (y2>y1), а слева и справа – непрерывными кривыми x=ψ1(y) e x= ψ2(y) [ψ2(y) > ψ1(y )], каждая из которых пересекается с горизонталью y=Y (y1<Y<y2) только в одной точке(рис.3). Аналогично предыдущему имеем область: D: D={(x,y): x1<X<x2, Y1 <Y< Y2} , если x1= ψ1(y) и x2= ψ2(y).
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов,то ее стараются разбить на части,каждая из которых относится к одному из этих двух видов.
ПРИМЕР. Вычислить . у у=х Oбласть D={(x,y):0 ≤x≤1,x≤y≤1}=>x1=0, x2=1, y1=x, y2=1. А С Для решения можем использовать как 1,так и 2 вид у=1 расстановки пределов интегрирования.Область D – О треугольник. х=0 х=1 Рис.4. Уравнениями прямых являются: x=0,y=1,y=x. 1). . 2). .
ПРИМЕР. Вычислить площадь области,ограниченной кривыми y= 2-x2,y=x. Область интегрирования ограничена параболой y= 2-x2 и прямой y=x. Найдем точки пересечения этих линий: 2-x2=x или x2+x-2=0 , т.е. x1= -2 и x2=1. . ПРИМЕР. Написать уравнение линий,которые ограничивают область интегрирования и сделать рисунок: . Решение: Нарисуем параболу и прямые: x1=1,x2=3,y1=x2 , y2=x+9. Рис.5 1.3.Двойной интеграл в полярных координатах. Переход из декартовых координат x,y в координаты полярные r,φ производится методом замены переменных: x = r cos θ, y = r sen θ, где r Є R, 0≤ θ ≤2π, следовательно , где область D*- область в полярной системе координат,соответствующая области D в декартовой системе координат.Она ограничена лучами θ=α, θ=β (α < β) и кривыми r=r1 (θ), r=r2 (θ) [r1 ( θ ) ≤ r2 (θ) ],т.е. область D*- правильная:луч,выходящий из полюса,пересекает ее границу не более чем в двух точках),то правую часть формулы можно записать . Внутренний интеграл берется при постоянном θ, -функциональный определитель
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 453; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |