Размерность и базис векторного пространства

Векторное пространство R на­зывается п - мерным, если в нем можно найти п линейно независимых векторов, но больше чем п линейно неза­висимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Так, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных век­торов равна 3; понятно, что размерность n-мерного про­странства, по определению, равна n.

Размерность про­странства R условимся обозначать через dim(R), а пространство .

Пространство, имеющее конечную размерность, на­зывается конечномерным.

Пространство, в кото­ром можно найти сколь угодно много линейно незави­симых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно неза­висимых векторов n - мерного векторного пространства R называется его базисом.

Теорема 7.1. Каждый вектор x линейного n-мерно­го пространства можно представить, и притом един­ственным способом, в виде линейной комбинации векто­ров базиса.

□ Существование. Пусть - произ­вольный базис n-мерного пространства и . Так как каждые n +1 векторов (n -мерного!) пространства R линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы , x, т. е. существуют такие не равные одно­временно нулю числа ,, что .

Пусть. Следовательно, . Обозначив , будем иметь .

Единственность. Это разложение x по базису единст­венно, так как если

и ,

тогда, вычитая из первого уравнения второе, имеем

.

В силу линейной независимости векторов. ■

Числа,называются координатами вектора x в базисе .

Пусть имеем два вектора в произвольном базисе. Тогда

при сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

У нулевого вектора все координаты равны 0.

Дата добавления: 2014-01-15