Лекция 12. Питання для контролю та самоконтролю

Питання для контролю та самоконтролю

1) Що таке ІКТ?

2) Які основні переваги та недоліки використання ІКТ у навчальному процесі?

3) Які існують системи засобів навчання нового покоління?

4) Що є характеристиками компетентності в галузі ІКТ?

5) Які основні сервіси мережі Інтернет?

6) Які групи соціальних сервісів Ви знаєте?

12.1 Скалярное произведение n - мерных векторов

Скалярным произведением n -мерных векторов называется число

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для ска­лярного произведения векторов. Пусть A, В, С - n-мерные векторы, тогда:

1) АВ = ВА;

2) k (AB) = (kA) B = A (kB), где k - число;

3) (А + В) C = АС + ВС;

4) АА 0 при любом A, причем АА = 0 тогда и только тогда, когда A = .

Для доказательства какого-либо из свойств 1-3 надо найти числа, находящиеся в левой и правой частях этого соотношения, и убедиться в том, что они равны. Например, если, то

,

Для доказательства свойства 4 найдем величину АА:

=

Отсюда следует, что АА 0 и

АА = 0 = 0 A =.

Длиной n -мерного вектора A называется число. Длину векто­ра A будем обозначать символом :

. (*)

Из свойства 4 скалярного произведения векторов вытекает, что каж­дый n-мерный вектор A обладает длиной, причем нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Скалярное произведение АА называется скалярным квадратом вектора A и обозначается символом . Из формулы (*) следует, что , т. е. квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.

Теорема 12.12. Если A и B - n-мерные векторы, то справедливы сле­дующие числовые соотношения:

1) , где k- число;

2) (неравенство Коши — Буняковского);

3) (неравенство треугольника ).

□1. .

2. Рассмотрим вектор C =B - A (АВ). Вычислим квадрат длины вектора C:

C² = (A²) ²B² - 2A² (AB)(AB) + (AB) ²A² = (A²) ²B² - A² (AB) ² = (A²B² - (AB)²).

Из свойства 4 скалярного произведения вытекает, что 0 (А²В² - (АВ)²)0. Так как 0, то из последнего неравенства получаем А²В² - (АВ) ² 0 или А²В² (АВ) ^2. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем: .

3. Так как и то АВ .

На основании этих неравенств имеем

= + 2АВ + В²

т.е .

Отсюда ■

С ледстви е. .

Дата добавления: 2014-01-15