Механическая интерпретация

Рассмотрим систему вида

(6.3)

Здесь . Независимая переменная есть время. Искомые функции - координаты -мерного пространства. Пространство называется фазовым пространством. Для системы двух уравнений

(6.4)

роль фазового пространства играет плоскость , которая называется фазовой плоскостью.

Всякое решение системы (6.3) представляет собой некоторый закон движения точки в пространстве и называется движением, определяемым системой (6.3),а путь, описываемый точкой в , называется траекторией этого движения. Таким образом, траектория есть проекция движения из пространства в фазовое пространство .

Определение. Если существует точка такая, что для любого , то она называется точкой покоя (равновесия).

Если - точка покоя, то система (6.3) в этой точке принимает вид:

Решение данной системы есть константы: , …, Такое решение называется состоянием покоя. Траектория движения есть точка .

В случае, когда система (6.3) автономная (правые части не содержат времени ), скорость движения в данной точке с течением времени не изменяется.

Пример.

Интегрируя первое уравнение системы, получаем . Подставляя найденное во второе уравнение системы, получаем: . . Следовательно, решение данной системы (движение) есть

(6.5)

Интегральная кривая задается в трехмерном пространстве уравнениями (6.5). Она получается при пересечении плоскости и параболического цилиндра . Следовательно, интегральная кривая – парабола. Фазовой плоскостью является плоскость . Траекторией движения будет проекция параболы на плоскость .

Дата добавления: 2014-01-15