Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Таким чином, функція неперервна в точці , якщо виконується водночас три умови:

- функція визначена в цій точці та її певному околі;

- існує границя функції в цій точці ;

- границя функції і відповідне значення функції в указаній точці рівні.

Означення. Нехай функція визначена на мно-
жині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u
та v і , , де обидві функції та
визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що, то кажуть що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Теорема. Нехай на множині D визначено складну функцію , де , , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складна функція неперервна в точці .

Властивості неперервної функції двох змінних:

- Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

- Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними , , при .

- Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

- Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

- Нехай функція неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

- Нехай функція неперервна на зв’язаній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень та . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень , яке лежить між і , тобто існує така точка , що .

Дата добавления: 2014-01-15