Уравнения однородной двухпроводной линии

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют напряжения и токи в любом сечении двухпроводной линии (линия связи – двухпроводный кабель со скрученными проводами).

Условимся называть верхний провод двухпроводной линии прямым, а нижний провод – обратным. Выберем положительные направления тока и напряжения.

Первичными параметрами однородной линии являются:

R ₀ – активное сопротивление единицы длины прямого и обратного проводов;

L ₀ – индуктивность единицы длины петли, образуемой прямым и обратным проводом;

G ₀ – проводимость (утечка) на единицу длины между проводами;

С ₀ – емкость на единицу длины между проводами.

Разобьем линию (рис. 1.1) на участки длиной dx, где х – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление равно R ₀ dx, индуктивность - L ₀ dx, проводимость утечки - G ₀ dx и емкость - С ₀ dx. Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i и напряжение между проводами в начале участка через u. Сопротивление R ₀ dx и индуктивность L ₀ dx будем считать включенными в один провод. Ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в уравнениях использованы частные производные от u и от i по времени t и по расстоянию s.

Обозначим для некоторого момента t ток в начале участка i, а в конце участка ток для того же момента времени обозначим ,

где - скорость изменения тока в направлении х;

– приращение тока на пути dx.

Аналогично, обозначим напряжение в начале участка и, а в конце участка для того же момента времени - .

Составим:

- уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке;

- уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 2 с учетом напряжения в конце участка:

(1.1)

Приводя подобные члены, пренебрегая величинами второго порядка малости и сокращая на dx, получаем дифференциальные уравнения:

(1.2)

Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях тока и напряжения во времени.

Дата добавления: 2014-01-15