Вектор-потенциал магнитного поля

Для удобства анализа и расчета магнитных цепей вводят векторную величину, которую по аналогии с потенциалом называют векторным потенциалом .

Получим соотношения, определяющие векторный потенциал, а также связь между векторным потенциалом и индукцией магнитного поля.

Если по проводнику протекает ток с плотностью , то согласно закону Био-Савара (4.3)

.

Интегрирование ведется по объему проводника.

Произведем преобразование подынтегральной функции, считая, что точка источника вектора фиксирована, а точка наблюдения является переменной. Тогда по точке наблюдения

, следовательно

.

Из векторного анализа известно, что

.

Т.к. все операции берутся по точке наблюдения, в которой и не зависит от координаты точки наблюдения, то , поэтому

.

Заменим подынтегральное выражение

.

Т.к. интегрирование ведется по объему проводника, а операция - по точке наблюдения, поэтому операции независимы, и их можно менять местами

, т.е. ,

где . (4.13)

Перейдем к линейному току по правилу , , тогда

. (4.14)

Т.к. - вектор, то при расчетах следует определить его проекции на оси x, y, z:

(4.15)

В электрическом поле потенциал является решением уравнения Пуассона .

Выражения для проекций векторного потенциала аналогичны выражениям для φ, поэтому являются решением уравнений, аналогичных уравнению Пуассона:

, или

- (4.16)

дифференциальное уравнение магнитного поля (или уравнение Пуассона для вектор-потенциала).

Проекции векторного потенциала пропорциональны плотности тока , а при постоянном токе , поэтому , т.е. линии вектора всегда замкнуты.

Выше было показано, что стоки и истоки линий вектора отсутствуют в областях, в которых . Убедимся в этом еще раз, используя уравнение :

.

Какой же характер имеет магнитное поле в точках, где ?

Для получения ответа вычислим .

.

, поэтому

. (4.17)

Таким образом, в областях, где поле вектора является безвихревым (потенциальным), в котором .

В областях, где поле является вихревым, .

Дата добавления: 2014-01-15