Свойства преобразований Лапласа

Лекция 12. Преобразование Лапласа при исследовании электрических цепей

Преобразований Лапласа

Тема 4. Анализ переходных процессов с помощью

Подобно ранее рассмотренному методу (см. темы 2 и 3) комплексных амплитуд (чисел), операторный метод Лапласа относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени а(t) и её изображением А(р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

(12.1)

и обратного

(12.2)

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия:

а(t) A(p).

Функция А(р) называется операторным изображением функции а(t) или изображением функции а(t) по Лапласу.

Исходная функция времени а(t) по отношению к своему операторному изображению является оригиналом.

Комплексное число р = σ ± j∞ называется оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой р = jω.

Из курса высшей математики известно, что для функций а(t), равных нулю, при t < 0 и удовлетворяющих неравенству (условию Дирихле)

, (12.3)

где К и σ – некоторые постоянные числа, интеграл (12.1) абсолютно сходится при Re(p) > σ, что удовлетворяет, как правило, реальным электрическим величинам.

На практике к интегрированию по формулам (12.1) и (12.2) прибегают сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа (см. приложение 1).

Приведем некоторые свойства преобразований Лапласа.

1. Свойство линейности.

1.1.Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

.

1.2. Умножению функции времени а(t) на постоянное число К соответствует умножение на это же число её изображения:

. (12.4)

1.3. Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

, (12.5)

где.

2. Свойство дифференцирования.

Если начальное значение функции а(t) равно нулю: , то дифференцирование функции а(t) соответствует умножению изображения этой функции на р

. (12.6)

При

. (12.7)

Повторным применением теоремы дифференцирования можно получить выражение для производных высших порядков:

.

3. Свойство интегрирования.

Интегрированию функции времени а(t) в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р:

. (12.8)

4. Свойство запаздывания.

Смещение функции времени на t₀ соответствует умножение изображения на :

. (12.9)

5. Предельные значения функций времени при t = 0 и t = ∞ могут быть найдены с помощью предельных соотношений:

;

.

6. Свойство (теорема) разложения.

Если изображение А(р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней

, (12.10)

причем степень полинома М(р) выше, чем степень полинома N(p), а уравнение

М(р) = 0 (12.11)

не имеет кратных корней, то для перехода от изображений к оригиналу можно воспользоваться математическим выражением:

, (12.12)

где р_k – корни уравнения (12.11), включая кратные.

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также и напряжения независимых источников энергии замещают их операторными изображениями.

Дата добавления: 2014-01-15