Анализ переходных процессов операторным методом. Обратное преобразование Лапласа

Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Причинами переходных процессов могут быть включение или выключение источника питания, возникновение аварийных ситуаций, когда происходит обрыв или короткое замыканий части электрической цепи, а также являются основными условиями их работы, например, заряд и разряд конденсатора электронных генераторов.

Переходные процессы возникают в тех цепях, которые содержат реактивные (инерционные) элементы, а именно: индуктивные катушки и конденсаторы, так как эти элементы обладают способностью накапливать и отдавать накопленную энергию соответственно магнитного и электрического полей.

Изменение энергии электрического или магнитного поля не может происходить мгновенно, а протекает хотя и в очень малые, но конечные промежутки времени. На основании сказанного можно сформулировать законы коммутации, а именно: ток в ветви с индуктивной катушкой и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком.

Основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода Лапласа состоят в следующем:

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий.

2. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого элемента его операторной схемой замещения и представления значений токов и напряжений источников тока или напряжения их операторными изображениями.

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из известных методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.

4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым известным методом.

5. Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа.

Пример. В разветвленной цепи с параметрами R1, R2, R3, L (рис.12.4, а) и параметрами R1, R2, R3, С (рис.12.4, б) осуществляется коммутация ключом S ЭДС источника Е = 600 В. Определите, будет ли в цепи переходный процесс. Если будет, то рассчитайте его операторным методом и постройте графики, качественно отражающие закон изменения тока и напряжения на элементах цепи в переходном режиме.

Рис. 12.4. Схемы к примеру расчета переходного процесса операторным методом Лапласа

L а S

S

C

E E

R1 R1

R3 R2 R3 б R2

а) б)

Порядок решения задачи (схема рис. 12.4, а)

1. Провести анализ с целью установления, будет ли в цепи переходный процесс?

Переходный процесс с реактивным элементом L возможен только в том случае, если значения токов в катушке индуктивности L будут отличаться в анализируемой схеме до и после коммутации соответственно. Заметим, что в цепях только с активными элементами R переходных процессов не бывает.

В анализируемой схеме до коммутации (рис. 12.5, а) ток i _L(0) в катушке индуктивности L определяется по закону Ома после преобразования параллельно соединенных резисторов R1 и R2 в общее R₁₂ с последующим последовательным подключением к нему резистора R3

при

i_L(0) Lp I_L (p) i_L(0)·L

E R1 E/p R1

R3 R2 R3 R2

а) б)

Рис. 12.5. Схемы к примеру расчета переходного процесса операторным методом в цепи с R1, R2, R3, L элементами до коммутации (а) и после коммутации (б)

После коммутации (рис. 12.5, б) ток i _L(∞) = 0 в катушке индуктивности равен нулю, так как в замкнутом контуре, составленном из элементов L, R1, R2, без внешнего источника (источник Е отключен) ток рано или поздно станет равным нулю.

Сравнивая значения токов в катушке до коммутации i _L(0) ≠ 0 и после i _L(∞) = 0 заключаем, что в анализируемой цепи (рис.12.4, а) будет переходный процесс.

2. Составляем (рис. 12.5, б) операторную схему исследуемой цепи после коммутации.

3. По закону Кирхгофа для напряжений в замкнутом контуре с учетом «внутренней ЭДС» катушки i_L(0)·L находим операторный ток I_L (p) в общем виде отношения полиномов М(р) и N(р)

I_L(p)[R1 + R2 + Lp] + i_L (0) L = 0,

.

4. Пользуясь методом обратного преобразования Лапласа определяем корни (полюсы) полинома N(р) = 0 в качестве характеристического уравнения замкнутого контура (рис. 12.5, б) и по виду и количеству корней (корень один р = р ₁) записываем по формуле разложения а(t) искомый оригинал переходного тока i _L(t) в катушке индуктивности

, , ,

где N’(p₁) = L – значение производной полинома N(р) при р = р ₁;

М(р₁) = i_L(0)L - значение полинома М(р) при р = р ₁;

k – порядковый номер корня.

5. Записываем результат решения

.

6. Строим график переходного процесса в цепи, который проиллюстрирован на рис. 12.6, где обозначено Т – постоянная времени обнуления катушки индуктивности.

Из рассмотрения рис. 12.6 следует, что по истечении времени (3-4)· Т переходный процесс прекращается.

Порядок решения задачи (схема рис. 12.4, б)

1. Провести анализ с целью установления, будет ли в цепи переходный процесс?

Переходный процесс с реактивным элементом С возможен только в том случае, если значения напряжения на обкладках конденсатора С будут отличаться в анализируемой схеме до и после коммутации соответственно.

В схеме (рис. 12.4, б) до коммутации (до выключения ключа) ток протекает через замкнутый ключ S и резисторы R2 и R1, создавая падение напряжения U_ab между точками ab на резисторе R1. Это падение напряжения U_ab (0) = рано или поздно окажется на обкладках конденсатора С в виде и_C (0) = .

После коммутации (после размыкания ключа S) ток от источника ЭДС ни в одной из ветвей протекать не может и напряжение Е источника ЭДС рано или поздно окажется на обкладках конденсатора С при t → ∞, то есть и _С(∞) = Е. Сравнивая и_C(∞) = E и и_C (0) = , делаем вывод, что переходный процесс будет, так как напряжения на обкладках конденсатора С до и после коммутации разные.

2. Составляем (рис. 12.7) операторную схему исследуемой цепи после коммутации.

а

Рис. 12.7. Операторная схема исследуемой цепи (рис. 12.4, б) после коммутации  

R3

R2 b R1

3. Записываем уравнение Кирхгофа для напряжений в операторной форме в направлении обхода по пунктирной линии с учетом «внутренней» ЭДС конденсатора С, действие которой направлено против ЭДС источника

Из этого уравнения Кирхгофа получим искомое выражение для тока в замкнутом контуре в операторной форме

.

Однако по законам коммутации важно исследовать изменение напряжения в цепи с конденсатором, а не тока, так как только напряжение на обкладках конденсатора не может изменяться скачком. Поэтому запишем формулу для нахождения напряжения на обкладках конденсатора в операторном виде U_C(p) с учетом запасенной «внутренней» энергии этого конденсатора

4. Пользуясь методом обратного преобразования Лапласа определяем для каждой дроби корни (полюсы) полинома N(р) = 0 в качестве характеристического уравнения замкнутого контура (рис.12.7) и по виду и количеству этих корней записываем по формуле разложения (12.10) искомый оригинал переходного напряжения u_C(t) на обкладках конденсатора.

Для первой дроби характеристический полином имеет вид

N(p) = p(R1 + R2) [1 + (R2 + R3)Cp ] = 0,

из которого находим два корня р ₁ = 0, . Для второй дроби корень один и равен нулю.

Далее, аналогично п. 4 методики решения задачи для схемы, изображенной на рис. 12.4, а, определяем с помощью формулы разложения а(t) искомый оригинал переходного напряжения для каждой дроби

u_C(t)=,

где Т = (R2 +R3)C, c – постоянная времени заряда конденсатора.

5. Строим график переходного процесса в цепи, который проиллюстрирован на рис. 12.8.

и Т Касательная Е Е(0) 0 t

		Рис. 12.8. График переходного процесса в электрической схеме (рис. 12.4, б), рассчитанный операторным методом Лапласа

Из рис. 12.8 следует, что по истечении времени (3-4)· Т переходный процесс прекращается.

Таким образом, были рассмотренысвойства преобразований Лапласа, операторные схемы замещения элементов цепи, анализ переходных процессов операторным методом при коммутации цепей с использованием обратного преобразования Лапласа.

Тест 24

Дата добавления: 2014-01-15