Признак бесконечного множества решений СЛУ

Пусть СЛУ приведена к трапецеидальному виду, например:

Система трапецеидального вида имеет бесконечное множество решений. Для нахождения общего решения нужно:

1. Выбрать базисные неизвестные , число которых равно числу уравнений в трапецеидальной системе, причем коэффициенты при этих неизвестных в трапецеидальной системе образуют определитель, не равный нулю, тогда свободные неизвестные – это оставшиеся неизвестные (Заметим, что базисные неизвестные выбираются не единственным способом.).

2. В трапецеидальной системе перенести в правую часть уравнений слагаемые со свободными неизвестными, тогда в левой части получится выражение треугольного вида.

3. С помощью обратного хода Гаусса найти выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные.

4. Записать общее решение системы. Если необходимо, из общего решения можно найти частные решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя базисные неизвестные.

Пример 8. Решить систему уравнений методом исключения неизвестных.

Решение

Составим расширенную матрицу , которая состоит из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Элементарные преобразования, проводимые над уравнениями, соответствуют элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы.

Неизвестные будут базисными, т.к. определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не равен нулю:, тогда свободная неизвестная. Перенесем слагаемые с в правую часть уравнений.

,

Запишем общее решение системы: .

Найдем несколько частных решений, придавая свободной неизвестной произвольные значения. Пусть , тогда , тогда частное решение . Пусть , тогда , тогда частное решение , и т.д.

Дата добавления: 2014-01-15