Бифуркации и управляющие параметры

Поведение системы, в которой происходит самоорганизация, удобно рассматривать с помощью бифуркационной диаграммы. По оси абсцисс диаграммы откладывается значение управляю­щего параметра, который характеризует воздействие, выводя­щее систему из равновесного состояния, а по оси ординат — па­раметр порядка, описывающий состояние системы и чувстви­тельный к возникновению в ней структуры.

(18) Выше было сказано, что нелинейная система уравнений, которой описывается практически любая реальная сложная система, имеет не одно, а подчас целый спектр решений. Ответвления от известного решения появляются при изменении значения управляющих параметров системы. Изменения управляющих параметров способны вызвать катастрофические, т.е. большие скачки переменных системы, и эти скачки осуществляются практически мгновенно.

 

(19) Путь на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью x_j и откладывают яйца. Потомство их на следующее лето появится численностью x_{j+1 =} cx_j (1- x_j) _­. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения x_j, а убыль – вторым. Параметр роста (коэффициент пропорциональности) с является управляющим параметром. При с<1 популяция при увеличении j убывает и исчезает. В области 1<c<3 численность приближается к значению x = 1 - (1/c). Следующий диапазон 3<c<3,4 соответствует двум ветвям решения и при определенных условиях численность может колебаться между ними (рис. 3). Т.е. она растет резко от малого значения, и откладывается много яиц. Но перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь снижает численность в следующем году до малого значения., так что период колебания численности равен двум годам. Далее, при 3,4<c<3,54 имеем уже 4 ветви, и возникает 4—стадийный цикл колебаний и. т.д. Подобные решения имеют место для широкого класса систем химических, электрических, гидродинамических и т.д.

 

(20) Итак, при изменении управляющих параметров в системе наблюдаются различные переходные явления, которые мы рассмотрим с помощью т.н. диаграммы бифуркации (см. рис. 4).

1 – асимптотическая ветвь, где система остается устойчивой, т.е. при малых l имеет одно единственное решение

2 – точка, где l=l_С - здесь происходит потеря устойчивости. Появляется два решения.

3 – система вновь находится в равновесии, причем существуют 2 устойчивые ветви b1 и b2.

(14) Сама точка l_С носит название точки бифуркации (<лат. раздвоение, размножение) или «точкой катастрофы».

(15) Ранее уже использовалось понятие флуктуации, т.е. отклонение какой-либо величины от среднего значения. Здесь, как видим, малая флуктуация управляющего параметра может иметь определяющее значение для системы (она начинает развиваться либо по ветви b1, либо по ветви b2). В биологической эволюции флуктуации проявляются в мутациях, изменчивости, в то время как устойчивость обусловлена естественным отбором.

(16) Усложнение структуры и поведения системы тесно связано с появлением новых путей решения в результате бифуркаций. В сильно неравновесных условиях процессы самоорганизации соответствуют «тонкому взаимодействию» между случайностью и необходимостью, флуктуациями и детерминистскими законами. Вблизи бифуркаций, т.е. резких, «взрывных» изменений системы, основную роль играют флуктуации или случайные элементы, тогда как в интервалах между бифуркациями преобладает детерминизм.

(17) Поведение самоорганизующейся системы вблизи точки бифуркации характеризуется следующими закономерностями.

(18)

1. По мере приближения к точке бифуркации флуктуации в системе нарастают; 2. Элементы возникающей в точке бифуркации упорядоченной структуры формируются из флуктуаций, случайно возникших до точки бифуркации.

(19) Ситуацию, возникающую после воздействия флуктуации на систему и возникновения новой структуры, И. Пригожин назвал порядком через флуктуацию или «порядком из хаоса». Флуктуации могут усиливаться в процессе эволюции системы или затухать, что зависит от эффективности «канала связи» между системой и внешним миром.

Контрольные вопросы

1. Что такое динамический хаос?

2. Чем отличается динамический хаос от беспорядка?

3. Что является областью исследования синергетики?

4. Назовите имена ученых, внесших вклад в развитие синергетики.

5. Назовите необходимые условия самоорганизации.

6. Поясните понятия открытость, нелинейность, неравновесность.

7. Какие системы называются диссипативными?

8. Как изменяется энтропия при самоорганизации?

9. Поясните смысл бифуркации.

10. Что такое параметры порядка?

11. Что такое управляющие параметры?

Литература

1. Дягилев Ф.М. Концепции современного естествознания. - М.: Изд. ИЭМПЭ, 1998.

2. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. – Новосибирск: ЮКЭА, 1997.

3. Свиридов В.В. Концепции современного естествознания. Учебное пособие. – СПб, 2004.

Дата добавления: 2014-01-15