ЛЕКЦИЯ 8. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов . Смешанное произведение

Физический смысл векторного произведения

Свойства векторного произведения

Правые и левые тройки векторов

Векторное произведение векторов

Через координаты перемножаемых векторов

Выражение скалярного произведения

Свойства скалярного произведения

Физический смысл скалярного произведения

Из физики известно, что работа силы по перемещению, находится по формуле А = F S F

S

Если вектор силы, а вектор перемещения, то работа А = = = (, то есть работа равна скалярному произведению векторов силы и пути

1. (следует из определения;

2. (;

3. (= (;

4.Если, так как;

5. (⁰ (² или

6. (=

7. () =

Пусть вектор а вектор, найдём их скалярное произведение (= = = { (= =1, другие ска-

лярные произведения базисных векторов равны нулю, так как они взаимно перпендикулярны } =.

Запишем основные формулы в декартовых координатах:

п=;;

→ условие перпендикулярности 2-х векторов.

Пример. Найти работу силы по перемещению в направлении вектора

Решение. А = (.

Определение. Тройка векторов называется правой (левой), если после приведения к одному началу, вектор располагается по ту сторону плоскости, определяемой векторами откуда поворот от к свершается против часовой стрелки (по часовой стрелки).

Левая Правая

Определение. Аффинная система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который удовлетворяет 3- м условиям:

1).;

2). Вектор и;

3). Вектор направлен так, что образует правую тройку с векторами и;

Обозначается или.

1. [ антикоммутативно;

2. [ = [ = [ 3. [ +) ]= [ + [;

4. Если и коллинеарны,то [ = 0 или [, так как = = 0;

5.Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях.

S ={ из школы известно} = =

S =S =.

1). Рассмотрим физическую задачу.

Пусть твёрдое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси.

М – произвольная точка, - линейная скорость,

z направленная по касательной к окружности,

описываемой точкой М.

ddD, ⊥ оси oz, из треугольника

OO₁M, тогда так как ⊥ и, а поворот от к против ча

совой стрелки, то линейную скорость можно рас-

y сматривать как векторное произведение, то есть

x Вывод: векторное произведение угловой скорос - ти на радиус – вектор произвольной точки вращающегося тела есть линейная скорость.

M M ]

2). Можно показать, что вращающий момент силы, приложенной к точке В тела есть векторное произведение вектора –плеча на вектор-силы.

A

AAA

B

Пусть вектор и вектор найдём векторное произведение этих векторов

[, ] =

= { = = =0, } = = = { раскроем этот определитель по элементам первой строки, получим } = [

ВЫВОД. Векторное произведение равно определителю третьего порядка, элементами которого являются базисные векторы (первая строка), координаты перемножаемых векторов (вторая строка); (третья строка ).

Замечание. Векторное произведение базисных векторов находят по правилу правых и левых троек

= =

=- =

0 = - = -

Пример 1. Сила = {1, 0, 4 } приложена к точке С (1, 2, 3). Найти момент этой силы относительно точки D (1, 4, 5).

Решение.,координаты вектора = { 0, -2, -2}.

= -8 + 2.

Ответ:{ -8,2,2}.

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, где; угол между векторами и равен 60⁰.

Решение. S = = = 5 ⁰ = 5 3 2 =15 кв.ед. Ответ: S = 15

Пример 3. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2,3,1); В (5, 6, 3); С (7, 1, 10).

Решение. S = S =. Найдём координаты векторов, для

этого из координат конца вычтем координаты начала, получим {3,3,2}; 30

{5,-2,9}. S = = = = = ед. Ответ: S = ед.

Дата добавления: 2014-01-15