КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Простейшие свойства векторного пространства
Пусть V — векторное пространство над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства. Свойство 1. Для любого из V 0×= , где 0 — ноль поля Р, — нулевой элемент аддитивной группы V, т. е. ноль-вектор. Доказательство. 0×= (0 + 0) = А4 = 0×+ 0×, т.е. 0×= 0×+ 0×(1) С другой стороны 0×= 0×+ (2) Из (1) и (2) 0×+ = 0×+ 0×. В илу закона сокращения в аддитивной группе V, получим 0×= . Свойство доказано. Свойство 2. Для любого a из Р a×=. Доказательство. a×=a×(+ )= А3 = a×+ a×(3) a×= a×+ (4) Из (3) и (4) a×+ = a×+ a×. Проводя левостороннее сокращение, из последнего равенства получим a×= . Свойство доказано. Свойство 3. Если a= (5), то либо a=0 либо = . Доказательство. Если a = 0, то требуемое равенство верно. Если a ¹ 0, то существует a-1 Î Р. Умножим обе части равенства (5) слева на a-1. Получим a-1(a) = a-1, откуда, по А2 и свойству 2, (a-1a) = Û 1×= Û (по А5) = . Свойство доказано. Свойство 4. Для любого из V выполняется -1×= -. Доказательство. = (свойство 1)= 0×= (1+(-1)) = А4 = 1×+ (-1)× = А5 = + (-1)× . Прибавим к обеим частям последнего равенства слева -. Получим (-1)×= -. Свойство доказано. Следствие 1. Для любого a из Р, для любого из V выполняется (-a)= -a . Следствие 2. Для любых a и b из Р, для любого из V выполняется (a - b)= a - b . Свойство 5. Для любого a из Р, для любых , , …, из V выполняется a(+ + … + ) = a+ a+ … + a. Свойство 6. Для любых a1, a2, …, an из Р, для любого из V выполняется (a1 + a2 + … + an) = a1+ a2+ … + an.
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 327; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |