Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие А∙В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример 10. если событие А – деталь стандартная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь стандартная и окрашенная.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. Р_А(В) = Р(В).

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них попарно независимы.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(А∙В) = Р(А)∙Р_А(В) (или Р(А∙В) = Р(В)∙Р_В(А)).

Замечание. Для независимых событий теорема умножения имеет вид: Р(АВ) = Р(А)∙Р(В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

.

В частности для трёх событий: .

Пример 11. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара. Из них 5 заказов предназначены на отправление внутри страны, а 3 – на экспорт. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны.

Решение: Вероятность, что первый заказ окажется предназначенным для отправления внутри страны (событие А), Р(А) = 5/8. Вероятность того, что второй заказ окажется предназначенным для потребления внутри страны (событие В), вычисляется в предположении, что первый заказ – внутри страны, т.е. Р_А(В) = 4/7.

По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = .

Пример 12. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что при первом бросании выпадет «2», а при втором бросании – нечётное число.

Решение: Вероятность выпадении «2» (событие А) Р(А) = 1/6.

Вероятность выпадении нечётного числа при втором бросании (событие В)

Р(В) = 3/6 = 1/2.

События А и В – независимые, поэтому Р(АВ) = .

Дата добавления: 2014-01-15