Диференціальні рівняння. Основні поняття

Довжина вектора

Нехай – проекції вектора відповідно на осі , тоді довжина вектора дорівнює

.

Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його проекцій

.

При дослідженні фізичних явищ або технічних процесів дослідник намагається знайти залежність між досліджуваними величинами. Але цю залежність часто знайти неможливо і в той же час можна знайти залежність між їх нескінченно малими змінами, тобто між їх похідними або диференціалами, і тоді одержуються рівняння, що містять шукану функцію під знаком похідної або диференціалу.

Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідні .

або .

Якщо шукана функція є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називаються звичайними.

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називаються порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.

Означення 3. Розв’язком або інтегралом диференціального рівняння називається всяка функція , котра будучи підставлена в рівняння, перетворює його в тотожність.

Процес відшукання розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

2*. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача і теорема Коші

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:

. (1)

Якщо це рівняння можна вирішити відносно , то його запис буде таким

. (1').

Основною задачею для диференціального рівняння першого порядку є задача Коші. Це задача знаходження розв’язку диференціального рівняння (1'), задовольняючого початковій умові . Існування і єдиність задачі Коші виражається теоремою Коші.

Теорема Коші. Якщо права частина диференціального рівняння неперервна разом із своєю частинною похідною в деякій області площини , то якою б не була точка з координатами з області існує і при тому єдиний розв’язок , який при дорівнює .

, .

(Без доведення).

Геометричний зміст теореми міститься в тім, що існує і при тому єдина функція , графік якої проходить через точку .

Умова, що при функція повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Вона часто записується у вигляді:

Дата добавления: 2014-01-11